Recta normal y tangente perpendicular

**(a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$.** Para hallar la recta normal en $x = 2$, primero necesitamos conocer el punto de tangencia y la pendiente de la función en dicho punto. 1. **Punto de la gráfica:** Calculamos la ordenada sustituyendo $x = 2$ en $f(x)$: $$f(2) = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$$ El punto es $P(2, 0)$. 2. **Derivada de la función:** Calculamos $f'(x)$ para obtener la pendiente de la recta tangente: $$f(x) = 4 - x^2 \implies f'(x) = -2x$$ 3. **Pendiente de la tangente ($m_t$):** Evaluamos la derivada en $x = 2$: $$m_t = f'(2) = -2(2) = -4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta normal ($m_n$) es la opuesta de la inversa de la pendiente de la tangente: $m_n = -\frac{1}{f'(a)}$.

Calculamos la pendiente de la recta normal ($m_n$): $$m_n = -\frac{1}{f'(2)} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}$$ Utilizamos la fórmula de la recta en su forma punto-pendiente: $y - y_0 = m_n(x - x_0)$ con el punto $P(2, 0)$: $$y - 0 = \frac{1}{4}(x - 2)$$ $$y = \frac{1}{4}x - \frac{2}{4} \implies y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}$$ También podemos expresarla en forma general: $$4y = x - 2 \implies x - 4y - 2 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}}$$

**(b) [1’5 puntos] Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta $x + 2y - 2 = 0$.** Primero, identificamos la pendiente de la recta dada $r: x + 2y - 2 = 0$. Para ello, despejamos $y$ (forma explícita): $$2y = -x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + 1$$ La pendiente de esta recta es $m_r = -\frac{1}{2}$. Si la recta tangente a $f(x)$ debe ser **perpendicular** a $r$, su pendiente ($m_t$) debe cumplir: $$m_t \cdot m_r = -1 \implies m_t \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \implies m_t = 2$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$. Si una tiene pendiente $m$, la perpendicular tiene pendiente $-1/m$.

Buscamos el valor de $x$ tal que la derivada de la función sea igual a la pendiente requerida ($m_t = 2$): $$f'(x) = 2$$ $$-2x = 2 \implies x = -1$$ Ahora, calculamos la ordenada correspondiente en la función original $f(x)$: $$f(-1) = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$$ El punto buscado es $(-1, 3)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(-1, 3)}$$