Geometría en el espacio: Punto en recta y área de un triángulo

**(a) [1’25 puntos] Halla un punto $C$ de la recta de ecuación $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{2} = z$ que verifica que el triángulo de vértices $A, B$ y $C$ tiene un ángulo recto en $B$.** Primero, expresamos la recta en su forma paramétrica para poder definir un punto genérico $C$ que pertenezca a ella. Igualamos cada fracción a un parámetro $\lambda$: $$\frac{x - 1}{3} = \lambda \implies x = 1 + 3\lambda$$ $$\frac{y}{2} = \lambda \implies y = 2\lambda$$ $$z = \lambda$$ Cualquier punto $C$ de la recta tiene la forma: $$C(1 + 3\lambda, 2\lambda, \lambda)$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con puntos sobre una recta, siempre es más cómodo pasar la ecuación a paramétricas.

Para que el triángulo $ABC$ tenga un ángulo recto en el vértice $B$, los vectores $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$ deben ser perpendiculares. Esto implica que su producto escalar debe ser cero. Calculamos los vectores: $$\vec{BA} = A - B = (1 - 1, 0 - 2, 2 - (-1)) = (0, -2, 3)$$ $$\vec{BC} = C - B = (1 + 3\lambda - 1, 2\lambda - 2, \lambda - (-1)) = (3\lambda, 2\lambda - 2, \lambda + 1)$$ Planteamos la condición $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$: $$(0)(3\lambda) + (-2)(2\lambda - 2) + (3)(\lambda + 1) = 0$$ 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Resolvemos la ecuación anterior para encontrar el valor de $\lambda$: $$0 - 4\lambda + 4 + 3\lambda + 3 = 0$$ $$-\lambda + 7 = 0 \implies \lambda = 7$$ Ahora sustituimos el valor de $\lambda$ en las coordenadas del punto $C$: $$x = 1 + 3(7) = 22$$ $$y = 2(7) = 14$$ $$z = 7$$ ✅ **Resultado del apartado (a):** $$\boxed{C(22, 14, 7)}$$

**(b) [1’25 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices $A, B$ y $D$, donde $D$ es el punto de corte del plano de ecuación $2x - y + 3z = 6$ con el eje $OX$.** El eje $OX$ tiene como ecuaciones implícitas $y = 0$ y $z = 0$. Para hallar el punto de corte $D$, sustituimos estos valores en la ecuación del plano: $$2x - (0) + 3(0) = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ Por tanto, el punto $D$ es: $$D(3, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** En el eje $OX$, todos los puntos tienen sus componentes $y$ y $z$ nulas.

Para calcular el área del triángulo formado por los puntos $A(1, 0, 2)$, $B(1, 2, -1)$ y $D(3, 0, 0)$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}|$$ Calculamos los vectores con origen en $A$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 1, 2 - 0, -1 - 2) = (0, 2, -3)$$ $$\vec{AD} = D - A = (3 - 1, 0 - 0, 0 - 2) = (2, 0, -2)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $P, Q, R$ es la mitad del área del paralelogramo definido por los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AD}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \mathbf{i}(2 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(0 \cdot (-2) - (-3) \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 2 \cdot 2)$$ $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(-4) = (-4, -6, -4)$$ Ahora calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 36 + 16} = \sqrt{68}$$ Podemos simplificar la raíz: $\sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$.

Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{17} = \sqrt{17} \approx 4.123 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado del apartado (b):** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{17} \text{ u}^2}$$