Propiedades de los determinantes y rango de una matriz

**(a) [0’5 puntos] $|A^3|$.** Para calcular el determinante de la potencia de una matriz, aplicamos la propiedad que establece que el determinante de una potencia es igual a la potencia del determinante: $$|A^n| = |A|^n$$ En nuestro caso, como $|A| = \frac{1}{2}$: $$|A^3| = |A|^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes, $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$, de donde se deriva la propiedad de las potencias $|A^n| = |A|^n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A^3| = \frac{1}{8}}$$

**(b) [0’5 puntos] $|A^{-1}|$.** La propiedad de los determinantes para la matriz inversa nos indica que el determinante de la inversa es el recíproco del determinante de la matriz original: $$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$$ Sustituimos el valor de $|A| = \frac{1}{2}$: $$|A^{-1}| = \frac{1}{1/2} = 2$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es válida siempre que la matriz sea regular (invertible), es decir, siempre que $|A| \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A^{-1}| = 2}$$

**(c) [0’5 puntos] $|-2A|$.** Cuando multiplicamos una matriz de orden $n$ por un número real $k$, el determinante de la nueva matriz es: $$|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$$ En este ejercicio, las matrices son de **orden 3** ($n=3$) y la constante es $k = -2$. Por tanto: $$|-2A| = (-2)^3 \cdot |A| = -8 \cdot \frac{1}{2} = -4$$ 💡 **Tip:** Es un error común olvidar elevar la constante al orden de la matriz. Al multiplicar una matriz por $k$, multiplicas todas sus filas ($n$ filas) por $k$, y por cada fila que multiplicas, el determinante queda multiplicado por $k$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|-2A| = -4}$$

**(d) [0’5 puntos] $|AB^t|$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de $B$.** Debemos aplicar dos propiedades fundamentales: 1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|A \cdot B^t| = |A| \cdot |B^t|$. 2. El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta: $|B^t| = |B|$. Combinando ambas: $$|AB^t| = |A| \cdot |B|$$ Sustituimos los valores $|A| = \frac{1}{2}$ y $|B| = -2$: $$|AB^t| = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{|AB^t| = -1}$$

**(e) [0’5 puntos] El rango de $B$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. En el caso de una matriz cuadrada de orden $n$: - Si $|B| \neq 0$, entonces el rango de la matriz es máximo, es decir, $rg(B) = n$. - Si $|B| = 0$, el rango será menor que $n$. En el enunciado se nos indica que $B$ es una matriz de **orden 3** y que su determinante es $|B| = -2$. Como: $$|B| = -2 \neq 0$$ Concluimos que las tres filas (o columnas) de $B$ son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{rg(B) = 3}$$