Cálculo de una función a partir de su segunda derivada

A partir del enunciado, extraemos la información necesaria para resolver el problema: 1. **Segunda derivada dada:** $f''(x) = \dfrac{1}{x}$ para $x \in (0, +\infty)$. 2. **Punto de la gráfica:** La gráfica pasa por $P(1, 1)$, lo que significa que **$f(1) = 1$**. 3. **Tangente horizontal en $P$:** Una tangente es horizontal si su pendiente es cero. Dado que la pendiente en un punto es el valor de la primera derivada en ese punto, tenemos que **$f'(1) = 0$**. Estas condiciones nos permitirán hallar las constantes de integración en los siguientes pasos.

Para hallar $f'(x)$, integramos la función $f''(x)$: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C_1$$ Como el dominio de la función es $(0, +\infty)$, podemos prescindir del valor absoluto: $$f'(x) = \ln(x) + C_1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $\frac{1}{x}$ es el logaritmo neperiano de su valor absoluto, $\ln|x| + C$.

Aplicamos la condición de la tangente horizontal, **$f'(1) = 0$**, en la expresión obtenida para $f'(x)$: $$f'(1) = \ln(1) + C_1 = 0$$ Como $\ln(1) = 0$: $$0 + C_1 = 0 \implies C_1 = 0$$ Por lo tanto, la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = \ln(x)}$$

Para hallar $f(x)$, debemos integrar la primera derivada: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \ln(x) \, dx$$ Esta integral se resuelve por el método de **integración por partes**: Tomamos: - $u = \ln(x) \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$ - $dv = dx \implies v = x$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$f(x) = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx$$ $$f(x) = x \ln(x) - x + C_2$$ 💡 **Tip:** Un truco para recordar la fórmula de integración por partes es "**U**n **D**ía **V**i **U**na **V**aca **S**in **V**estido **D**e **U**niforme".

Aplicamos la condición de que la gráfica pasa por el punto $P(1, 1)$, es decir, **$f(1) = 1$**: $$f(1) = 1 \cdot \ln(1) - 1 + C_2 = 1$$ Como $\ln(1) = 0$: $$0 - 1 + C_2 = 1 \implies C_2 = 1 + 1 = 2$$ Por tanto, la constante es **$C_2 = 2$**.

Sustituyendo el valor de $C_2$ en la expresión de $f(x)$, obtenemos la función buscada: ✅ **Solución final:** $$\boxed{f(x) = x \ln(x) - x + 2}$$ Podemos verificar que: - $f(1) = 1 \cdot 0 - 1 + 2 = 1$ (Correcto) - $f'(1) = \ln(1) = 0$ (Correcto) - $f''(x) = (\ln x)' = 1/x$ (Correcto)