Optimización de áreas: alambre dividido en cuadrado y rectángulo

**Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un alambre de $100\text{ m}$ de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.** Sea $x$ la longitud del trozo de alambre destinado a formar el cuadrado (en metros). Entonces, la longitud del trozo restante para el rectángulo será $100 - x$. 1. **Cuadrado:** * El perímetro es $x$. * El lado del cuadrado es $l = \dfrac{x}{4}$. * El área del cuadrado es $A_1 = l^2 = \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 = \dfrac{x^2}{16}$. 2. **Rectángulo:** * El perímetro es $100 - x$. * Si la altura es $h$, la base es $2h$ (según el enunciado). * El perímetro del rectángulo es $P = 2(h + 2h) = 6h$. * Igualamos al trozo disponible: $6h = 100 - x \implies h = \dfrac{100 - x}{6}$. * La base será $b = 2h = \dfrac{100 - x}{3}$. * El área del rectángulo es $A_2 = b \cdot h = \dfrac{100 - x}{3} \cdot \dfrac{100 - x}{6} = \dfrac{(100 - x)^2}{18}$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso fundamental es expresar todas las magnitudes en función de una única variable, respetando las restricciones del enunciado.

La función que queremos minimizar es la suma de las áreas de ambas figuras: $$A(x) = A_1 + A_2 = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(100 - x)^2}{18}$$ El dominio de esta función es $x \in [0, 100]$, ya que la longitud del trozo no puede ser negativa ni superar el total del alambre. $$\boxed{A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(100 - x)^2}{18}}$$

Para hallar el mínimo, calculamos la primera derivada $A'(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = \dfrac{2x}{16} + \dfrac{2(100 - x) \cdot (-1)}{18}$$ Simplificamos las fracciones: $$A'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{100 - x}{9}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$\dfrac{x}{8} - \dfrac{100 - x}{9} = 0 \implies \dfrac{x}{8} = \dfrac{100 - x}{9}$$ Multiplicamos en cruz: $$9x = 8(100 - x)$$ $$9x = 800 - 8x$$ $$17x = 800$$ $$x = \dfrac{800}{17} \approx 47,06 \text{ m}$$ 💡 **Tip:** No olvides la regla de la cadena al derivar $(100-x)^2$, cuya derivada es $2(100-x)(-1)$.

Para confirmar que en $x = \frac{800}{17}$ hay un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = \dfrac{1}{8} - \left(\dfrac{-1}{9}\right) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{9}$$ Como $A''(x) = \dfrac{17}{72} \gt 0$ para cualquier valor de $x$, la función es convexa y el punto crítico hallado es un **mínimo relativo**. Además, al ser una función cuadrática con coeficiente principal positivo (una parábola abierta hacia arriba), este mínimo relativo es también el **mínimo absoluto** en el intervalo $[0, 100]$.

Calculamos la longitud de cada uno de los trozos: * **Trozo para el cuadrado:** $$x = \dfrac{800}{17} \approx 47,06 \text{ m}$$ * **Trozo para el rectángulo:** $$100 - x = 100 - \dfrac{800}{17} = \dfrac{1700 - 800}{17} = \dfrac{900}{17} \approx 52,94 \text{ m}$$ ✅ **Longitudes finales:** $$\boxed{\text{Cuadrado: } \dfrac{800}{17} \approx 47,06 \text{ m}, \quad \text{Rectángulo: } \dfrac{900}{17} \approx 52,94 \text{ m}}$$