Plano paralelo a una recta y posición relativa de una recta

**(a) [1’75 puntos] Determina la ecuación del plano que es paralelo a $r$ y pasa por $A$ y $B$.** Para hallar la ecuación del plano $\pi$, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). Como el plano es paralelo a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ será uno de los vectores directores del plano. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Podemos obtener su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $r: \begin{cases} x + y = 1 \rightarrow \vec{n}_1 = (1, 1, 0) \\ x + z = 2 \rightarrow \vec{n}_2 = (1, 0, 1) \end{cases}$ Calculamos $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ mediante el determinante: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Aplicando Sarrus para los determinantes $2 \times 2$: $$\vec{v}_r = 1\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k} = (1, -1, -1)$$ 💡 **Tip:** Otra forma de obtener $\vec{v}_r$ es resolviendo el sistema en función de un parámetro. Si hacemos $x = \lambda$, entonces $y = 1 - \lambda$ y $z = 2 - \lambda$. Los coeficientes de $\lambda$ nos dan el vector $(1, -1, -1)$.

El plano $\pi$ pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, 1, 0)$. Por tanto, el vector $\vec{AB}$ es otro vector director del plano: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 1, 1 - 0, 0 - (-1)) = (1, 1, 1)$$ Ya tenemos los elementos necesarios para definir el plano $\pi$: - Punto: $A(1, 0, -1)$ - Vectores directores: $\vec{v}_r = (1, -1, -1)$ y $\vec{AB} = (1, 1, 1)$ Obtenemos el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(-1 - (-1)) - \vec{j}(1 - (-1)) + \vec{k}(1 - (-1)) = 0\vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k} = (0, -2, 2)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}_\pi = (0, -1, 1)$ para facilitar los cálculos.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_\pi = (0, -1, 1)$ y el punto $A(1, 0, -1)$ para escribir la ecuación del plano $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$: $$0(x - 1) - 1(y - 0) + 1(z - (-1)) = 0$$ $$-y + z + 1 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más habitual: $$y - z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{y - z - 1 = 0}$$

**(b) [0’75 puntos] Determina si la recta que pasa por los puntos $P(1, 2, 1)$ y $Q(3, 4, 1)$ está contenida en dicho plano.** Para que una recta esté contenida en un plano, todos sus puntos deben pertenecer al plano. Es suficiente comprobar si los dos puntos que definen la recta, $P$ y $Q$, cumplen la ecuación del plano $\pi: y - z - 1 = 0$. **Comprobamos el punto $P(1, 2, 1)$:** Sustituimos las coordenadas $(x, y, z) = (1, 2, 1)$ en la ecuación del plano: $$2 - 1 - 1 = 0 \implies 0 = 0$$ El punto **$P$ pertenece al plano $\pi$**. **Comprobamos el punto $Q(3, 4, 1)$:** Sustituimos las coordenadas $(x, y, z) = (3, 4, 1)$ en la ecuación del plano: $$4 - 1 - 1 = 2 \neq 0$$ El punto **$Q$ no pertenece al plano $\pi$**. 💡 **Tip:** Si un punto de la recta está en el plano y el otro no, la recta es secante al plano (lo corta en el punto $P$). Si ninguno estuviera y el vector director de la recta fuera perpendicular al normal del plano, la recta sería paralela. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta no está contenida en el plano}}$$