Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**(a) [1’25 puntos] Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A^2 + 3A$ no tiene inversa.** Primero, calculamos las matrices que intervienen en la expresión. Empezamos por $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} \lambda + 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda + 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\lambda+1)^2 + 0 & 0 + 0 \\ (\lambda+1) - 1 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\lambda+1)^2 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $3A$: $$3A = 3 \begin{pmatrix} \lambda + 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\lambda + 3 & 0 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$$ Ahora sumamos ambas para obtener la matriz resultante $B = A^2 + 3A$: $$B = \begin{pmatrix} (\lambda+1)^2 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\lambda + 3 & 0 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda^2 + 2\lambda + 1 + 3\lambda + 3 & 0 \\ \lambda + 3 & 1 - 3 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{B = \begin{pmatrix} \lambda^2 + 5\lambda + 4 & 0 \\ \lambda + 3 & -2 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se hace fila por columna, y para sumar matrices se suma elemento a elemento.

Una matriz no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero ($|B| = 0$). Calculamos el determinante de la matriz resultante: $$|B| = \begin{vmatrix} \lambda^2 + 5\lambda + 4 & 0 \\ \lambda + 3 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(\lambda^2 + 5\lambda + 4) - 0 = -2(\lambda^2 + 5\lambda + 4)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2(\lambda^2 + 5\lambda + 4) = 0 \implies \lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $$\lambda_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad \lambda_2 = \frac{-8}{2} = -4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = -1, \quad \lambda = -4}$$

**(b) [1’25 puntos] Para $\lambda = 0$, halla la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2.** Primero, sustituimos $\lambda = 0$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 0 + 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora despejamos $X$ en la ecuación $AX + A = 2I$: 1. Restamos $A$ en ambos lados: $AX = 2I - A$ 2. Si $A$ tiene inversa, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda: $X = A^{-1}(2I - A)$ Comprobamos si $A$ tiene inversa calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, **existe $A^{-1}$**. 💡 **Tip:** Al despejar matrices, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por la inversa por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Para hallar $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$, calculamos primero la matriz de adjuntos: $$C_{11} = -1, \quad C_{12} = -1, \quad C_{21} = 0, \quad C_{22} = 1$$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ La traspuesta de la adjunta es: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Curiosamente, en este caso $A^{-1} = A$, lo que indica que es una matriz involutiva. $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos primero el paréntesis $(2I - A)$: $$2I - A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X = A^{-1}(2I - A)$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) & 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}}$$