Integral por cambio de variable y fracciones simples

Para resolver la integral, seguimos la sugerencia y aplicamos el cambio de variable $t = e^x$. Calculamos el diferencial de $t$ derivando ambos miembros: $$t = e^x \implies dt = e^x dx$$ Observamos que el numerador de nuestra integral es precisamente $e^x dx$, lo cual facilita la sustitución directa. Sustituyendo en la integral original: $$\int \frac{e^x}{(e^{2x} - 1)(e^x + 1)}dx = \int \frac{1}{(t^2 - 1)(t + 1)}dt$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $e^{2x} = (e^x)^2$, por lo que al hacer el cambio $t=e^x$, obtenemos $t^2$.

Antes de integrar, debemos descomponer el integrando en fracciones simples. Primero, factorizamos completamente el denominador: $$t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)$$ Entonces: $$(t^2 - 1)(t + 1) = (t - 1)(t + 1)(t + 1) = (t - 1)(t + 1)^2$$ La descomposición en fracciones simples tendrá la siguiente forma (caso de raíces reales, una simple y una doble): $$\frac{1}{(t - 1)(t + 1)^2} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{(t + 1)^2}$$ Multiplicando por el denominador común $(t-1)(t+1)^2$: $$1 = A(t + 1)^2 + B(t - 1)(t + 1) + C(t - 1)$$ 💡 **Tip:** Cuando tenemos un factor elevado a una potencia $n$, debemos incluir una fracción para cada potencia desde $1$ hasta $n$.

Damos valores a $t$ para hallar las constantes: - Si $t = 1$: $$1 = A(1 + 1)^2 \implies 1 = 4A \implies A = \frac{1}{4}$$ - Si $t = -1$: $$1 = C(-1 - 1) \implies 1 = -2C \implies C = -\frac{1}{2}$$ - Si $t = 0$ (usando los valores ya hallados): $$1 = A(1)^2 + B(-1)(1) + C(-1)$$ $$1 = \frac{1}{4} - B + \frac{1}{2}$$ $$B = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - 1 = \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}$$ Por tanto, la fracción queda: $$\frac{1}{(t-1)(t+1)^2} = \frac{1/4}{t-1} - \frac{1/4}{t+1} - \frac{1/2}{(t+1)^2}$$

Sustituimos la descomposición en la integral y resolvemos término a término: $$\int \left( \frac{1/4}{t-1} - \frac{1/4}{t+1} - \frac{1/2}{(t+1)^2} \right) dt$$ Resolvemos cada parte: 1. $\int \frac{1/4}{t-1} dt = \frac{1}{4} \ln|t-1|$ 2. $\int \frac{-1/4}{t+1} dt = -\frac{1}{4} \ln|t+1|$ 3. $\int \frac{-1/2}{(t+1)^2} dt = -\frac{1}{2} \int (t+1)^{-2} dt = -\frac{1}{2} \frac{(t+1)^{-1}}{-1} = \frac{1}{2(t+1)}$ Sumando los resultados: $$\frac{1}{4} \ln|t-1| - \frac{1}{4} \ln|t+1| + \frac{1}{2(t+1)} + K$$ 💡 **Tip:** Usamos la propiedad de los logaritmos $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$ para simplificar: $$\frac{1}{4} \ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + \frac{1}{2(t+1)} + K$$

Finalmente, deshacemos el cambio de variable original sustituyendo $t$ por $e^x$: Como $t = e^x$: $$\frac{1}{4} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right| + \frac{1}{2(e^x + 1)} + K$$ Notamos que $e^x + 1$ siempre es positivo, por lo que podemos quitar el valor absoluto en el denominador. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{e^x}{(e^{2x} - 1)(e^x + 1)}dx = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right| + \frac{1}{2(e^x + 1)} + K}$$