Optimización: Distancia mínima de un punto a una curva

Para resolver este problema de optimización, primero debemos identificar los elementos involucrados: 1. El punto $A$ es fijo: $A(2, 0)$. 2. Un punto genérico $P$ sobre la gráfica de $f(x) = \sqrt{x-1}$ tiene la forma: $$P(x, f(x)) = (x, \sqrt{x-1})$$ donde el dominio de la función es $x \ge 1$. La distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1)$ y $A(x_2, y_2)$ viene dada por la fórmula: $$d(P, A) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Sustituyendo nuestros puntos: $$d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + (\sqrt{x - 1} - 0)^2}$$ $$d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + (x - 1)}$$ 💡 **Tip:** Para minimizar una raíz cuadrada $\sqrt{g(x)}$, basta con minimizar la función que está dentro (el radicando) $g(x)$, ya que la raíz es una función creciente. Esto simplifica mucho las derivadas.

Definimos la función $g(x)$ como el cuadrado de la distancia para facilitar el cálculo: $$g(x) = (x - 2)^2 + (x - 1)$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$g(x) = (x^2 - 4x + 4) + x - 1$$ $$g(x) = x^2 - 3x + 3$$ Nuestro objetivo es encontrar el valor de $x$ en el intervalo $[1, +\infty)$ que minimiza esta función cuadrática.

Calculamos la primera derivada de $g(x)$ para hallar los extremos relativos: $$g'(x) = 2x - 3$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar el punto crítico: $$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$$ Como $x = 1.5$ pertenece al dominio $[1, +\infty)$, es un candidato válido para ser el mínimo buscado. 💡 **Tip:** Recuerda siempre comprobar que el valor obtenido está dentro del dominio de definición del problema (en este caso, $x \ge 1$).

Para confirmar que en $x = 1.5$ hay un mínimo, podemos estudiar el signo de la primera derivada o usar la segunda derivada. **Método de la segunda derivada:** $$g''(x) = 2$$ Como $g''(1.5) = 2 \gt 0$, confirmamos que se trata de un **mínimo relativo**. **Estudio del signo de $g'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & [1, 1.5) & 1.5 & (1.5, +\infty)\\ \hline g'(x) & - & 0 & +\\ \hline g(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ En el intervalo $[1, 1.5)$, la función decrece, y en $(1.5, +\infty)$, crece. Por tanto, el mínimo absoluto se alcanza en $x = 1.5$.

Calculamos la ordenada $y$ del punto $P$ sustituyendo $x = \frac{3}{2}$ en la función original $f(x)$: $$y = f\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{\frac{3}{2} - 1} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Por tanto, el punto $P$ es: $$\boxed{P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$$ Ahora calculamos la distancia mínima sustituyendo $x = \frac{3}{2}$ en $d(x)$: $$d\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 3}$$ $$d\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 3} = \sqrt{\frac{9 - 18 + 12}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ unidades}}$$