Simetría de un punto respecto a una recta

**Determina el punto simétrico del punto $A(-3, 1, 6)$ respecto de la recta $r$ de ecuaciones $x - 1 = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 1}{2}$.** Para resolver este problema, el primer paso es identificar un punto y el vector director de la recta $r$ a partir de su ecuación continua. La recta $r$ viene dada por: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 1}{2}$$ De aquí extraemos: - Un vector director de la recta: $\vec{v}_r = (1, 2, 2)$. - Un punto de la recta: $P_r(1, -3, -1)$. 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el vector director es $(v_1, v_2, v_3)$ y el punto es $(x_0, y_0, z_0)$.

Para hallar el simétrico de $A$ respecto a $r$, necesitamos encontrar el punto proyectado $M$ de $A$ sobre la recta. Para ello, trazamos un plano $\pi$ que sea perpendicular a $r$ y que contenga al punto $A$. Si el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ será el vector director de la recta: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, 2, 2)$$ La ecuación general del plano es de la forma $x + 2y + 2z + D = 0$. Como el punto $A(-3, 1, 6)$ pertenece al plano, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1(-3) + 2(1) + 2(6) + D = 0$$ $$-3 + 2 + 12 + D = 0 \implies 11 + D = 0 \implies D = -11$$ Por tanto, el plano auxiliar es: $$\pi: x + 2y + 2z - 11 = 0$$

El punto $M$ es la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Para calcularlo, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -3 + 2\lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$(1 + \lambda) + 2(-3 + 2\lambda) + 2(-1 + 2\lambda) - 11 = 0$$ $$1 + \lambda - 6 + 4\lambda - 2 + 4\lambda - 11 = 0$$ $$9\lambda - 18 = 0 \implies 9\lambda = 18 \implies \lambda = 2$$ Sustituyendo el valor $\lambda = 2$ en las ecuaciones paramétricas de $r$, obtenemos las coordenadas de $M$: $$x_M = 1 + 2 = 3$$ $$y_M = -3 + 2(2) = 1$$ $$z_M = -1 + 2(2) = 3$$ El punto de intersección (pie de la perpendicular) es **$M(3, 1, 3)$**. 💡 **Tip:** El punto $M$ es el punto de la recta más cercano a $A$.

El punto $M(3, 1, 3)$ es el punto medio del segmento que une el punto $A(-3, 1, 6)$ con su simétrico $A'(x', y', z')$. Por la fórmula del punto medio: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(3) - (-3) = 6 + 3 = 9$$ $$y' = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$$ $$z' = 2(3) - 6 = 6 - 6 = 0$$ Por lo tanto, el punto simétrico buscado es $A'(9, 1, 0)$. 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar que el vector $\vec{AM}$ es igual al vector $\vec{MA'}$. $\vec{AM} = (3 - (-3), 1 - 1, 3 - 6) = (6, 0, -3)$ $\vec{MA'} = (9 - 3, 1 - 1, 0 - 3) = (6, 0, -3)$ ¡Coinciden! ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A'(9, 1, 0)}$$