Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**(a) [1’75 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro $\lambda$.** Para clasificar el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 & 2 \\ \lambda & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ El número de incógnitas es $n = 3$ ($x, y, z$). El primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ para ver para qué valores de $\lambda$ el rango de $A$ es máximo. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius dice que: - Si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. - Si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) < n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. - Si $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & 1 \end{vmatrix} = [(-\lambda)(\lambda)(1) + (1)(1)(\lambda) + (1)(1)(1)] - [(\lambda)(\lambda)(1) + (1)(1)(-\lambda) + (1)(1)(1)]$$ Operamos los términos: $$|A| = (-\lambda^2 + \lambda + 1) - (\lambda^2 - \lambda + 1)$$ $$|A| = -\lambda^2 + \lambda + 1 - \lambda^2 + \lambda - 1 = -2\lambda^2 + 2\lambda$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2\lambda^2 + 2\lambda = 0 \implies 2\lambda(1 - \lambda) = 0$$ Las soluciones son: $$\lambda = 0, \quad \lambda = 1$$

Si $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 1$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso, el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rango}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ tiene dimensión $3 \times 4$, su rango no puede ser mayor que 3, por lo que también es 3. Al coincidir con el número de incógnitas: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \neq 0, 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado}}$$

Si $\lambda = 0$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas en ambas matrices, por lo que el determinante $|A|=0$ y el rango será menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ En la matriz ampliada $A^*$, como la tercera fila es igual a la primera ($F_1 = F_3$), el rango también es 2. $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt n = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 0, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado}}$$

Si $\lambda = 1$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ En la matriz $A$, las filas 2 y 3 son iguales ($F_2 = F_3$), por lo que $|A|=0$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Sin embargo, en la matriz ampliada $A^*$, si observamos las filas 2 y 3, corresponden a las ecuaciones: $$x + y + z = 2$$ $$x + y + z = 1$$ Esto es una contradicción. Matemáticamente, comprobamos el rango de $A^*$ con un menor que use la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1+2+1) - (1-2+1) = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 1, \text{ el sistema es Incompatible}}$$

**(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para $\lambda = 0$.** Sustituimos $\lambda = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} y + z = 1 \\ x + z = 2 \\ y + z = 1 \end{cases}$$ Como la primera y la tercera ecuación son iguales, nos quedamos con las dos primeras. Es un sistema compatible indeterminado, por lo que usaremos un parámetro. Sea $z = \alpha$: 1. De la primera ecuación: $y = 1 - z = 1 - \alpha$ 2. De la segunda ecuación: $x = 2 - z = 2 - \alpha$ 💡 **Tip:** Para resolver un SCI, se pasan las incógnitas "sobrantes" (tantas como la diferencia entre el número de incógnitas y el rango) al otro lado como parámetros. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2 - \alpha \\ y = 1 - \alpha \\ z = \alpha \end{cases} \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$