Área delimitada por una función logarítmica y una recta horizontal

**(a) [0’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje $OY$ y la recta $y = 1$. Calcula los puntos de corte de las gráficas.** Para poder esbozar el recinto, primero debemos encontrar los puntos donde se cruzan las tres fronteras dadas: 1. **Intersección de $f(x) = \ln(x+1)$ con la recta $y=1$**: $$\ln(x+1) = 1 \implies x+1 = e^1 \implies x = e-1 \approx 1.718$$ El punto de corte es **$(e-1, 1)$**. 2. **Intersección de $f(x) = \ln(x+1)$ con el eje $OY$ ($x=0$)**: $$f(0) = \ln(0+1) = \ln(1) = 0$$ El punto de corte es el origen de coordenadas **$(0, 0)$**. 3. **Intersección del eje $OY$ ($x=0$) con la recta $y=1$**: El punto es directamente **$(0, 1)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el eje $OY$ tiene por ecuación $x=0$. Para deshacer el logaritmo neperiano, aplicamos la función exponencial $e$ a ambos lados de la igualdad. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(0,0), (0,1) \text{ y } (e-1, 1)}$$

Utilizando los puntos calculados y sabiendo que $f(x) = \ln(x+1)$ es una función logarítmica desplazada una unidad a la izquierda (con asíntota vertical en $x=-1$), representamos la región limitada: - La curva superior es la recta horizontal **$y=1$**. - La curva inferior es **$f(x) = \ln(x+1)$**. - El límite izquierdo es el eje de ordenadas **$x=0$**. - El límite derecho es el valor de $x$ donde se cortan, es decir, **$x = e-1$**. En el siguiente gráfico interactivo se muestra el recinto sombreado.

**(b) [1’75 puntos] Halla el área del recinto anterior.** El área $A$ del recinto viene dada por la integral definida de la función "techo" menos la función "suelo" en el intervalo de integración $[0, e-1]$. La función superior es $g(x) = 1$ y la función inferior es $f(x) = \ln(x+1)$. Por tanto: $$A = \int_{0}^{e-1} [1 - \ln(x+1)] \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que calcules áreas entre dos curvas, identifica cuál queda por encima de la otra en el intervalo dado para que el resultado de la integral sea positivo.

Para resolver la integral, calculamos primero la primitiva de $\ln(x+1)$ mediante el método de integración por partes. Hacemos un cambio de variable sencillo $t = x+1$, con lo que $dt = dx$. La integral es $\int \ln(t) \, dt$. Usamos integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Sea $u = \ln t \implies du = \frac{1}{t} dt$. Sea $dv = dt \implies v = t$. $$\int \ln t \, dt = t \ln t - \int t \cdot \frac{1}{t} \, dt = t \ln t - \int 1 \, dt = t \ln t - t$$ Deshaciendo el cambio $t = x+1$: $$\int \ln(x+1) \, dx = (x+1) \ln(x+1) - (x+1)$$ Ahora integramos la expresión completa: $$\int [1 - \ln(x+1)] \, dx = x - [(x+1) \ln(x+1) - (x+1)] = x - (x+1) \ln(x+1) + x + 1 = 2x + 1 - (x+1) \ln(x+1)$$ O de forma más sencilla, evaluando directamente con la primitiva de $\ln t$:

Utilizamos la primitiva obtenida para evaluar en los límites $x=0$ y $x=e-1$ mediante la Regla de Barrow: $$A = \left[ 2x + 1 - (x+1) \ln(x+1) \right]_{0}^{e-1}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = e-1$): $$F(e-1) = 2(e-1) + 1 - (e-1+1) \ln(e-1+1) = 2e - 2 + 1 - e \ln(e) = 2e - 1 - e(1) = e - 1$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = 2(0) + 1 - (0+1) \ln(0+1) = 1 - 1 \cdot \ln(1) = 1 - 0 = 1$$ Restamos ambos valores: $$A = F(e-1) - F(0) = (e - 1) - 1 = e - 2$$ 💡 **Tip:** El valor aproximado es $2.718 - 2 = 0.718$ unidades cuadradas. Como el logaritmo neperiano suele aparecer en estos ejercicios, recuerda que $\ln(e) = 1$ y $\ln(1) = 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = (e - 2) \text{ u}^2}$$