Optimización de un depósito cilíndrico

Para resolver este problema de optimización, empezamos identificando las variables involucradas en un cilindro: - Sea $r$ el radio de la base del cilindro (en metros). - Sea $h$ la altura del cilindro (en metros). Las fórmulas que necesitaremos son: 1. **Área total ($A$):** Suma de las dos bases y el área lateral. $$A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$ 2. **Volumen ($V$):** Área de la base por la altura. $$V = \pi r^2 h$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un cilindro 'cerrado' incluye tanto la base inferior como la superior ($2\pi r^2$).

El enunciado nos indica que el área total es fija e igual a $54\text{ m}^2$: $$2\pi r^2 + 2\pi r h = 54$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo entre $2$: $$\pi r^2 + \pi r h = 27$$ Despejamos la altura $h$ para poder expresar el volumen en función de una sola variable ($r$): $$\pi r h = 27 - \pi r^2 \implies h = \frac{27 - \pi r^2}{\pi r}$$ Como las dimensiones deben ser positivas, sabemos que $r \gt 0$ y $27 - \pi r^2 \gt 0$ (es decir, $r \lt \sqrt{27/\pi}$).

Sustituimos la expresión de $h$ en la fórmula del volumen: $$V(r) = \pi r^2 \left( \frac{27 - \pi r^2}{\pi r} \right)$$ Simplificamos cancelando $\pi$ y una $r$ del numerador con el denominador: $$V(r) = r(27 - \pi r^2)$$ $$V(r) = 27r - \pi r^3$$ Esta es la función que queremos maximizar.

Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada $V'(r)$ e igualamos a cero: $$V'(r) = (27r - \pi r^3)' = 27 - 3\pi r^2$$ Igualamos a cero: $$27 - 3\pi r^2 = 0 \implies 3\pi r^2 = 27 \implies \pi r^2 = 9$$ $$r^2 = \frac{9}{\pi} \implies r = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$$ Tomamos solo el valor positivo ya que $r$ representa una longitud. 💡 **Tip:** En optimización, los candidatos a máximos y mínimos relativos se encuentran donde la derivada es nula.

Comprobamos si se trata de un máximo utilizando el criterio de la segunda derivada: $$V''(r) = (27 - 3\pi r^2)' = -6\pi r$$ Evaluamos en nuestro punto crítico $r = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$: $$V''\left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right) = -6\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right) = -18\sqrt{\pi} \lt 0$$ Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que en $r = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$ existe un **máximo relativo**. También podemos ver el signo de $V'(r)$ en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} r & (0, 3/\sqrt{\pi}) & 3/\sqrt{\pi} & (3/\sqrt{\pi}, \sqrt{27/\pi})\\ \hline V'(r) & + & 0 & -\\ \hline V(r) & \text{Creciente } (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente } (\searrow) \end{array}$$ $$\boxed{r = \dfrac{3}{\sqrt{\pi}} \text{ m}}$$

Ahora calculamos el valor de la altura $h$ sustituyendo el valor del radio en la expresión despejada anteriormente: $$h = \frac{27 - \pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2}{\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)} = \frac{27 - \pi \left(\frac{9}{\pi}\right)}{\frac{3\pi}{\sqrt{\pi}}} = \frac{27 - 9}{3\sqrt{\pi}} = \frac{18}{3\sqrt{\pi}} = \frac{6}{\sqrt{\pi}}$$ Observamos que la altura es exactamente el doble del radio ($h = 2r$), lo cual es una propiedad común en este tipo de problemas de optimización de cilindros. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \text{ m} \approx 1.69 \text{ m}, \quad h = \frac{6}{\sqrt{\pi}} \text{ m} \approx 3.39 \text{ m}}$$