Estudio de la parábola: gráfica y rectas tangentes

**a) La gráfica de la curva $y = 4 - x^2$. (2 puntos).** La función $f(x) = 4 - x^2$ es una función polinómica de segundo grado, por lo que su gráfica es una **parábola**. 1. **Orientación:** Como el coeficiente de $x^2$ es negativo ($a = -1$), la parábola está abierta hacia abajo (es cóncava). 2. **Vértice:** La coordenada $x$ del vértice se halla con $x_v = \frac{-b}{2a}$. Aquí $b=0$, por lo que $x_v = 0$. La ordenada es $y_v = f(0) = 4 - 0^2 = 4$. El vértice es $V(0, 4)$. 3. **Puntos de corte con los ejes:** - Eje $Y$: Si $x=0$, $y=4$. Punto $(0, 4)$. - Eje $X$: Si $y=0$, $4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Puntos $(2, 0)$ y $(-2, 0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que una parábola $y = ax^2 + bx + c$ tiene su vértice en $x = -b/2a$. Si $a < 0$, el vértice es un máximo absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Gráfica de una parábola con vértice en } (0,4) \text{ y cortes en } (\pm 2, 0)}$$

**b) El punto $P$ de esa curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación $x + y = 0$. (3 puntos).** Primero, calculamos la pendiente de la recta dada $r: x + y = 0$. Despejando $y$: $y = -x$, por lo que su pendiente es $m_r = -1$. Si la recta tangente es perpendicular a $r$, su pendiente $m_t$ debe cumplir: $$m_t \cdot m_r = -1 \implies m_t \cdot (-1) = -1 \implies m_t = 1$$ Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto $x$ es el valor de la derivada $f'(x)$: $$f'(x) = -2x$$ Igualamos la derivada a la pendiente buscada: $$-2x = 1 \implies x = -\frac{1}{2}$$ Ahora hallamos la ordenada del punto $P$ sustituyendo en la función original: $$y = f\left(-\frac{1}{2}\right) = 4 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$ ($m_1 \cdot m_2 = -1$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P\left(-\frac{1}{2}, \frac{15}{4}\right)}$$

**c) Las rectas que pasan por el punto $(-2,1)$ y son tangentes a la curva $y = 4 - x^2$, obteniendo los puntos de tangencia. (5 puntos).** Llamemos $A(-2, 1)$ al punto por el que pasan las rectas. Sea $Q(a, 4 - a^2)$ un punto genérico de tangencia sobre la curva. La pendiente de la tangente en $Q$ es $f'(a) = -2a$. La ecuación de la recta tangente en $Q$ es: $$y - f(a) = f'(a)(x - a) \implies y - (4 - a^2) = -2a(x - a)$$ Como la recta debe pasar por $A(-2, 1)$, sustituimos $x = -2$ e $y = 1$ en la ecuación: $$1 - (4 - a^2) = -2a(-2 - a)$$ Operamos para resolver $a$: $$1 - 4 + a^2 = 4a + 2a^2$$ $$-3 + a^2 = 4a + 2a^2$$ $$a^2 + 4a + 3 = 0$$ 💡 **Tip:** Para hallar tangentes desde un punto externo, plantea la ecuación de la tangente en un punto genérico $(a, f(a))$ y obliga a que pase por el punto externo dado.

Resolvemos la ecuación de segundo grado $a^2 + 4a + 3 = 0$: $$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}$$ Esto nos da dos posibles valores para $a$: 1. $a_1 = -1$ 2. $a_2 = -3$ **Para $a_1 = -1$:** - Punto de tangencia: $Q_1(-1, f(-1)) = (-1, 4 - (-1)^2) = (-1, 3)$. - Pendiente: $m_1 = -2(-1) = 2$. - Recta: $y - 1 = 2(x + 2) \implies y = 2x + 5$. **Para $a_2 = -3$:** - Punto de tangencia: $Q_2(-3, f(-3)) = (-3, 4 - (-3)^2) = (-3, -5)$. - Pendiente: $m_2 = -2(-3) = 6$. - Recta: $y - 1 = 6(x + 2) \implies y = 6x + 13$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Puntos: } Q_1(-1, 3), Q_2(-3, -5) \\ &\text{Rectas: } y = 2x + 5, y = 6x + 13 \end{aligned}}$$