Geometría en el espacio: distancias, ángulos y triángulos

**a) Hallar razonadamente la distancia del punto $A = (0,1,0)$ a la recta $r$. (4 puntos).** Primero, extraemos los datos de la recta $r$ y el punto $A$: - Punto de la recta: $P(0, 3, -1)$ - Vector director de la recta: $\vec{v}_r = (2, -1, 1)$ - Punto externo: $A(0, 1, 0)$ La distancia de un punto $A$ a una recta $r$ viene dada por la fórmula: $$d(A, r) = \frac{|\vec{PA} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ Calculamos el vector $\vec{PA}$ que une el punto $P$ de la recta con el punto $A$: $$\vec{PA} = A - P = (0 - 0, 1 - 3, 0 - (-1)) = (0, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia representa la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta.

Calculamos el producto vectorial $\vec{PA} \times \vec{v}_r$ mediante el determinante de la matriz formada por los vectores unitarios y las componentes de los vectores: $$\vec{PA} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{PA} \times \vec{v}_r = [(-2) \cdot 1]\mathbf{i} + [1 \cdot 2]\mathbf{j} + [0 \cdot (-1)]\mathbf{k} - [(-2) \cdot 2]\mathbf{k} - [1 \cdot (-1)]\mathbf{i} - [0 \cdot 1]\mathbf{j}$$ $$\vec{PA} \times \vec{v}_r = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k} + 4\mathbf{k} + 1\mathbf{i} - 0\mathbf{j}$$ $$\vec{PA} \times \vec{v}_r = (-2+1)\mathbf{i} + (2-0)\mathbf{j} + (0+4)\mathbf{k} = (-1, 2, 4)$$ 💡 **Tip:** El resultado de un producto vectorial es siempre un vector perpendicular a los dos originales.

Ahora calculamos el módulo del producto vectorial y el módulo del vector director: $$|\vec{PA} \times \vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$$ $$|\vec{v}_r| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(A, r) = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21}{6}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1.87 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(A, r) = \frac{\sqrt{14}}{2}}$$

**b) Calcular razonadamente el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos $P$ y $A$ con la recta $r$ en el punto $P$. (4 puntos).** Sea $s$ la recta que pasa por $P$ y $A$. Su vector director será $\vec{v}_s = \vec{PA} = (0, -2, 1)$. El vector director de la recta $r$ es $\vec{v}_r = (2, -1, 1)$. El ángulo $\alpha$ entre dos rectas se calcula mediante el producto escalar de sus vectores directores: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_s|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (2)(0) + (-1)(-2) + (1)(1) = 0 + 2 + 1 = 3$$ 💡 **Tip:** Usamos el valor absoluto en el numerador porque el ángulo entre dos rectas se considera siempre el menor de los ángulos que forman (el agudo).

Ya conocemos $|\vec{v}_r| = \sqrt{6}$. Calculamos $|\vec{v}_s|$: $$|\vec{v}_s| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$ Sustituimos en la fórmula del coseno: $$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{30}}$$ Para hallar $\alpha$: $$\alpha = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{30}}\right) \approx 56.79^\circ$$ ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{30}}\right)}$$

**c) Si $Q$ es el punto donde la recta $r$ corta al plano de ecuación $z = 0$, comprobar que el triángulo de vértices $APQ$ tiene ángulos iguales en los vértices $P$ y $Q$. (2 puntos).** Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas usando $P(0, 3, -1)$ y $\vec{v}_r(2, -1, 1)$: $$r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$$ Buscamos el punto $Q$ donde corta al plano $z = 0$: $$-1 + \lambda = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las coordenadas de la recta: $$x = 2(1) = 2$$ $$y = 3 - 1 = 2$$ $$z = 0$$ Por tanto, el punto es **$Q(2, 2, 0)$**. 💡 **Tip:** El corte con el plano $z=0$ (plano XY) implica simplemente que la coordenada $z$ del punto debe ser nula.

Para que los ángulos en los vértices $P$ y $Q$ sean iguales, el triángulo $APQ$ debe ser isósceles con los lados opuestos a esos ángulos iguales, es decir, la distancia de $A$ a $P$ debe ser igual a la distancia de $A$ a $Q$. Calculamos la longitud del segmento $AP$: $$|\vec{PA}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$ Calculamos la longitud del segmento $AQ$: $$\vec{QA} = A - Q = (0 - 2, 1 - 2, 0 - 0) = (-2, -1, 0)$$ $$|\vec{QA}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$$ Como $|\vec{PA}| = |\vec{QA}|$, el triángulo $APQ$ es isósceles. ✅ **Resultado (conclusión):** $$\boxed{\text{Al ser } d(A,P) = d(A,Q) = \sqrt{5}, \text{ el triángulo es isósceles y tiene ángulos iguales en } P \text{ y } Q}$$