Sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) Justificar razonadamente que para los valores de los parámetros $a = 0, b = -1$ y $c = 2$ el sistema es incompatible.** Sustituimos los valores $a = 0, b = -1$ y $c = 2$ en el sistema original: $$\begin{cases} 2(0)x + (-1)y + z = 3(2) \\ 3x - 2(-1)y - 2(2)z = 0 \\ 5(0)x - 2y + (2)z = -4(-1) \end{cases} \implies \begin{cases} -y + z = 6 \\ 3x + 2y - 4z = 0 \\ -2y + 2z = 4 \end{cases}$$ Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A'$: $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}; \quad A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 1 & 6 \\ 3 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 4 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Para estudiar la compatibilidad de un sistema, utilizaremos el Teorema de Rouché-Frobenius comparando el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada.

Calculamos el determinante de $A$ para hallar su rango: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = (0 \cdot 2 \cdot 2) + (3 \cdot (-2) \cdot 1) + (0 \cdot (-1) \cdot (-4)) - [ (0 \cdot 2 \cdot 1) + (-2 \cdot (-4) \cdot 0) + (2 \cdot 3 \cdot (-1)) ]$$ $$|A| = (0 - 6 + 0) - (0 + 0 - 6) = -6 + 6 = 0$$ Como el determinante es $0$, el rango de $A$ es menor que $3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 0 - (-3) = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$

Para hallar el rango de $A'$, tomamos el menor formado por la primera columna de $A$ (que garantiza el rango 2) y la columna de términos independientes: $$\text{Menor } A' = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 6 \\ 2 & -4 & 0 \\ -2 & 2 & 4 \end{vmatrix}$$ Calculamos su determinante por Sarrus: $$= ((-1) \cdot (-4) \cdot 4) + (2 \cdot 2 \cdot 6) + (-2 \cdot 1 \cdot 0) - [ (6 \cdot (-4) \cdot (-2)) + (0 \cdot 2 \cdot (-1)) + (4 \cdot 2 \cdot 1) ]$$ $$= (16 + 24 + 0) - (48 + 0 + 8) = 40 - 56 = -16 \neq 0$$ Como existe un menor de orden $3$ no nulo en $A'$, entonces $\text{rg}(A') = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - $\text{rg}(A) = 2$ - $\text{rg}(A') = 3$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A')$, el sistema es **incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sistema Incompatible (S.I.)}}$$

**b) Determinar razonadamente los valores de los parámetros $a, b$ y $c$, para los que se verifica que $(x,y,z) = (1,2,3)$ es solución del sistema.** Si $(1,2,3)$ es solución, debe satisfacer las tres ecuaciones del sistema: 1) $2a(1) + b(2) + 3 = 3c \implies 2a + 2b - 3c = -3$ 2) $3(1) - 2b(2) - 2c(3) = a \implies 3 - 4b - 6c = a \implies a + 4b + 6c = 3$ 3) $5a(1) - 2(2) + c(3) = -4b \implies 5a - 4 + 3c = -4b \implies 5a + 4b + 3c = 4$ Esto nos genera un nuevo sistema de ecuaciones donde las incógnitas son $a, b$ y $c$: $$\begin{cases} 2a + 2b - 3c = -3 \\ a + 4b + 6c = 3 \\ 5a + 4b + 3c = 4 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al sustituir una solución conocida en un sistema con parámetros, obtenemos un sistema lineal cuyas incógnitas son dichos parámetros.

Resolvemos el sistema por reducción o sustitución. De la segunda ecuación despejamos $a$: $$a = 3 - 4b - 6c$$ Sustituimos en las otras dos: En la (1): $2(3 - 4b - 6c) + 2b - 3c = -3 \implies 6 - 8b - 12c + 2b - 3c = -3 \implies -6b - 15c = -9 \implies 2b + 5c = 3$ En la (3): $5(3 - 4b - 6c) + 4b + 3c = 4 \implies 15 - 20b - 30c + 4b + 3c = 4 \implies -16b - 27c = -11 \implies 16b + 27c = 11$ Tenemos un sistema de $2 \times 2$: $$\begin{cases} 2b + 5c = 3 \\ 16b + 27c = 11 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-8$: $$-16b - 40c = -24$$ $$16b + 27c = 11$$ Sumamos: $-13c = -13 \implies \mathbf{c = 1}$. Sustituimos $c$ en $2b + 5c = 3$: $$2b + 5(1) = 3 \implies 2b = -2 \implies \mathbf{b = -1}$$. Finalmente hallamos $a$: $$a = 3 - 4(-1) - 6(1) = 3 + 4 - 6 \implies \mathbf{a = 1}$$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, b = -1, c = 1}$$

**c) Justificar si la solución $(x,y,z) = (1,2,3)$ del sistema del apartado b) es, o no, única.** Para que la solución sea única, el sistema debe ser **Compatible Determinado (S.C.D.)**. Esto ocurre si el determinante de la matriz de coeficientes $A$ es distinto de cero para los valores hallados ($a=1, b=-1, c=1$). La matriz de coeficientes con estos valores es: $$A = \begin{pmatrix} 2(1) & -1 & 1 \\ 3 & -2(-1) & -2(1) \\ 5(1) & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 5 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (2 \cdot 2 \cdot 1) + (3 \cdot (-2) \cdot 1) + (5 \cdot (-1) \cdot (-2)) - [ (1 \cdot 2 \cdot 5) + (-2 \cdot (-2) \cdot 2) + (1 \cdot 3 \cdot (-1)) ]$$ $$|A| = (4 - 6 + 10) - (10 + 8 - 3) = 8 - 15 = -7$$ Como $|A| = -7 \neq 0$, el rango de $A$ es $3$, que coincide con el número de incógnitas. Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado**, lo que significa que la solución es **única**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La solución es única}}$$