Optimización del coste de vallado de un estadio

Para resolver el problema, primero definimos las dimensiones del estadio y utilizamos el dato de la superficie para relacionarlas. Sean: - $x$: la base del rectángulo (que coincide con el diámetro de los semicírculos). - $y$: la altura de los lados verticales del rectángulo. El estadio está compuesto por un rectángulo de área $A_{rect} = x \cdot y$ y dos semicírculos que, juntos, forman un círculo completo de diámetro $x$ (radio $r = x/2$). El área del círculo es $A_{circ} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\pi x^2}{4}$. La superficie total es de $10000$ m²: $$x \cdot y + \frac{\pi x^2}{4} = 10000$$ Despejamos $y$ en función de $x$ para poder expresar las magnitudes posteriores en una sola variable: $$xy = 10000 - \frac{\pi x^2}{4} \implies y = \frac{10000}{x} - \frac{\pi x}{4}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con restricciones, el primer paso suele ser usar la restricción (en este caso el área) para despejar una variable en función de la otra.

**a) La longitud del perímetro del campo en función de $x$. (3 puntos).** El perímetro $L$ del estadio está formado por los dos lados verticales del rectángulo ($2y$) y las dos semicircunferencias (que juntas forman una circunferencia completa de diámetro $x$): - Longitud de los lados verticales: $2y$ - Longitud de las semicircunferencias: $2 \cdot \left(\pi \cdot \frac{x}{2}\right) = \pi x$ Sustituimos la expresión de $y$ hallada en el paso anterior: $$L(x) = 2 \cdot \left( \frac{10000}{x} - \frac{\pi x}{4} \right) + \pi x$$ $$L(x) = \frac{20000}{x} - \frac{\pi x}{2} + \pi x$$ $$L(x) = \frac{20000}{x} + \frac{\pi x}{2}$$ ✅ **Resultado (Perímetro):** $$\boxed{L(x) = \frac{20000}{x} + \frac{\pi x}{2}}$$

**b) El coste $f(x)$ de la valla en función de $x$. (3 puntos).** El coste total $f(x)$ se calcula multiplicando cada longitud por su precio correspondiente: - Coste de los lados verticales ($1$ €/m): $C_1 = 1 \cdot (2y)$ - Coste de las semicircunferencias ($2$ €/m): $C_2 = 2 \cdot (\pi x)$ Sumamos ambos costes y sustituimos $y$: $$f(x) = 2y + 2\pi x = 2 \cdot \left( \frac{10000}{x} - \frac{\pi x}{4} \right) + 2\pi x$$ $$f(x) = \frac{20000}{x} - \frac{\pi x}{2} + 2\pi x$$ Operamos el término en $x$: $$-\frac{\pi x}{2} + 2\pi x = \frac{-\pi x + 4\pi x}{2} = \frac{3\pi x}{2}$$ Por tanto: $$f(x) = \frac{20000}{x} + \frac{3\pi x}{2}$$ ✅ **Resultado (Coste):** $$\boxed{f(x) = \frac{20000}{x} + \frac{3\pi x}{2}}$$

**c) El valor de $x$ para el que el coste de la valla es mínimo. (4 puntos).** Para minimizar el coste, derivamos la función $f(x)$ e igualamos a cero: $$f(x) = 20000x^{-1} + \frac{3\pi}{2}x$$ $$f'(x) = -\frac{20000}{x^2} + \frac{3\pi}{2}$$ Igualamos la derivada a cero: $$-\frac{20000}{x^2} + \frac{3\pi}{2} = 0 \implies \frac{3\pi}{2} = \frac{20000}{x^2}$$ $$3\pi x^2 = 40000 \implies x^2 = \frac{40000}{3\pi}$$ Como $x$ representa una longitud, tomamos el valor positivo: $$x = \sqrt{\frac{40000}{3\pi}} = \frac{200}{\sqrt{3\pi}} \approx 65,15 \text{ metros}$$ 💡 **Tip:** Para confirmar que es un mínimo, usamos la segunda derivada: $$f''(x) = \frac{40000}{x^3}$$ Como $x \gt 0$, $f''(x) \gt 0$, lo que confirma que el valor hallado corresponde a un **mínimo relativo**. ✅ **Resultado (Optimización):** $$\boxed{x = \frac{200}{\sqrt{3\pi}} \approx 65,15 \text{ m}}$$