Posición relativa de rectas, distancias y planos equidistantes

**a) Justificar que las rectas $r$ y $s$ se cruzan. (4 puntos).** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto y un vector director de cada recta. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos: $$r \equiv \begin{cases} 5x+y-z=4 \\ 2x-2y-z=-5 \end{cases}$$ Para hallar el vector director $\vec{v_r}$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{i}(-1) + \vec{j}(-2) + \vec{k}(-10) - [ \vec{k}(2) + \vec{i}(2) + \vec{j}(-5) ]$$ $$\vec{v_r} = (-1-2)\vec{i} + (-2+5)\vec{j} + (-10-2)\vec{k} = (-3, 3, -12)$$ Podemos simplificar tomando $\vec{v_r} = (1, -1, 4)$. Para un punto $P_r$, fijamos $x=0$ en el sistema: $$\begin{cases} y-z=4 \\ -2y-z=-5 \end{cases} \implies \text{restando: } 3y = 9 \implies y=3$$ Si $y=3$, entonces $3-z=4 \implies z=-1$. Luego, **$P_r(0, 3, -1)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de planos es el producto vectorial de sus normales.

La recta $s$ tiene por ecuaciones: $$s \equiv \begin{cases} x-y=-5 \\ z=4 \end{cases}$$ Parametrizamos haciendo $x = \lambda$: $$x = \lambda, \quad y = \lambda + 5, \quad z = 4$$ De aquí obtenemos directamente: - Vector director: **$\vec{v_s} = (1, 1, 0)$**. - Punto de la recta: **$P_s(0, 5, 4)$**. 💡 **Tip:** Si una recta tiene una variable constante (como $z=4$), su vector director tendrá esa componente igual a $0$.

Dos rectas se cruzan si sus vectores directores no son paralelos y el determinante formado por $(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_rP_s})$ es distinto de cero. 1. **Independencia de $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$**: Como $\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{1}$, los vectores no son proporcionales, luego las rectas no son paralelas ni coincidentes. 2. **Cálculo del determinante**: Calculamos el vector $\vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (0-0, 5-3, 4-(-1)) = (0, 2, 5)$. $$\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_rP_s}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\det = (5 + 0 + 8) - (0 + 0 - 5) = 13 + 5 = 18$$ Como el determinante es **$18 \neq 0$**, los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) Calcular razonadamente la distancia entre las rectas $r$ y $s$. (3 puntos).** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula como: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_rP_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}$$ Ya conocemos el numerador (valor absoluto del determinante anterior): $|18| = 18$. Calculamos el producto vectorial $\vec{v_r} \times \vec{v_s}$: $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0)\vec{i} + (4)\vec{j} + (1)\vec{k} - [(-1)\vec{k} + (4)\vec{i} + (0)\vec{j}]$$ $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = -4\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k} = (-4, 4, 2)$$ Su módulo es: $$|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16+16+4} = \sqrt{36} = 6$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los vectores directores.

Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{18}{6} = 3 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = 3}$$

**c) Determinar la ecuación del plano $\pi$ que es paralelo y equidistante a las rectas $r$ y $s$. (3 puntos).** El plano $\pi$ debe ser paralelo a ambas rectas, por lo que su vector normal $\vec{n_\pi}$ debe ser perpendicular a $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$. Usamos el vector obtenido en el paso anterior: $$\vec{n_\pi} = (-4, 4, 2) \implies \text{simplificamos a } (-2, 2, 1)$$ La ecuación del plano será de la forma: $$-2x + 2y + z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano paralelo a dos rectas tiene como vector normal el producto vectorial de los vectores directores de dichas rectas.

Para que sea equidistante, la distancia de cualquier punto de $r$ al plano $\pi$ debe ser igual a la distancia de cualquier punto de $s$ al plano $\pi$. Usamos la fórmula de distancia punto-plano para $P_r(0, 3, -1)$ y $P_s(0, 5, 4)$: $$d(P_r, \pi) = d(P_s, \pi) \implies \frac{|-2(0) + 2(3) + (-1) + D|}{\sqrt{(-2)^2+2^2+1^2}} = \frac{|-2(0) + 2(5) + 4 + D|}{\sqrt{(-2)^2+2^2+1^2}}$$ $$|5+D| = |14+D|$$ Resolvemos la ecuación modular. Como el plano está *entre* las rectas, los puntos deben estar en semiespacios opuestos respecto al plano, por lo que: $$5+D = -(14+D) \implies 5+D = -14 - D$$ $$2D = -19 \implies D = -\frac{19}{2} = -9.5$$ (La otra opción $5+D = 14+D$ llevaría a $5=14$, que es imposible). Sustituimos $D$ en la ecuación: $$-2x + 2y + z - 9.5 = 0 \implies -4x + 4y + 2z - 19 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para dejar el primer coeficiente positivo: $$4x - 4y - 2z + 19 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv 4x - 4y - 2z + 19 = 0}$$