Operaciones con matrices, invertibilidad y parámetros

**a) Calcular las matrices $(A-I)^2$ y $A(A-2I)$. (4 puntos).** Primero, calculamos la matriz $A-I$ restando la matriz identidad $I$ a la matriz $A$: $$A-I = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -3 & -3 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el cuadrado de esta matriz, $(A-I)^2 = (A-I) \cdot (A-I)$: $$(A-I)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1+2-3, 1+2-3, 1+2-3) = (0, 0, 0)$ - Fila 2: $(2+4-6, 2+4-6, 2+4-6) = (0, 0, 0)$ - Fila 3: $(-3-6+9, -3-6+9, -3-6+9) = (0, 0, 0)$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo en general, y $(A-I)^2$ significa multiplicar la matriz por sí misma. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A-I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

Calculamos primero la matriz $A-2I$: $$A-2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -3 & -3 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -3 & -3 & -4 \end{pmatrix}$$ Procedemos a multiplicar $A \cdot (A-2I)$: $$A(A-2I) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -3 & -3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -3 & -3 & -4 \end{pmatrix}$$ Calculamos los elementos: - $c_{11} = 2(0) + 1(2) + 1(-3) = -1$ - $c_{12} = 2(1) + 1(1) + 1(-3) = 0$ - $c_{13} = 2(1) + 1(2) + 1(-4) = 0$ - $c_{21} = 2(0) + 3(2) + 2(-3) = 0$ - $c_{22} = 2(1) + 3(1) + 2(-3) = -1$ - $c_{23} = 2(1) + 3(2) + 2(-4) = 0$ - $c_{31} = -3(0) - 3(2) - 2(-3) = 0$ - $c_{32} = -3(1) - 3(1) - 2(-3) = 0$ - $c_{33} = -3(1) - 3(2) - 2(-4) = -1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(A-2I) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -I}$$

**b.1) Existen las matrices inversas de las matrices $A$ y $A-2I$. (2 puntos).** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Para la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -3 & -3 & -2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [2 \cdot 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 \cdot (-3) + 2 \cdot (-3) \cdot 1] - [(-3) \cdot 3 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot (-2)]$$ $$|A| = [-12 - 6 - 6] - [-9 - 12 - 4] = -24 - (-25) = 1$$ Como **$|A| = 1 \neq 0$**, existe $A^{-1}$. Para la matriz $A-2I$: $$|A-2I| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -3 & -3 & -4 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$|A-2I| = [0 + 1 \cdot 2 \cdot (-3) + 2 \cdot (-3) \cdot 1] - [(-3) \cdot 1 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot (-4)]$$ $$|A-2I| = [0 - 6 - 6] - [-3 + 0 - 8] = -12 - (-11) = -1$$ Como **$|A-2I| = -1 \neq 0$**, existe $(A-2I)^{-1}$. 💡 **Tip:** Una forma alternativa de justificar la existencia de $A^{-1}$ es usar el resultado anterior $A(A-2I) = -I$, lo cual implica $A(-A+2I) = I$, demostrando que la inversa existe.

**b.2) No existe matriz inversa de la matriz $A-I$. (2 puntos).** Analizamos el determinante de $A-I$: $$|A-I| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -3 & -3 & -3 \end{vmatrix}$$ Podemos observar que las filas son proporcionales entre sí: - $F_2 = 2 \cdot F_1$ - $F_3 = -3 \cdot F_1$ Según las propiedades de los determinantes, si una matriz tiene filas proporcionales, su determinante es cero: $$|A-I| = 0$$ 💡 **Tip:** También se puede ver porque en el apartado (a) vimos que $(A-I)^2 = O$. Si existiera $(A-I)^{-1}$, al multiplicar por la izquierda tendríamos $(A-I)^{-1}(A-I)^2 = (A-I)^{-1}O \implies A-I = O$, lo cual es falso. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Como } |A-I| = 0, \text{ la matriz } A-I \text{ no es invertible.}}$$

**c) Determinar el valor del parámetro real $\lambda$ para el que se verifica $A^{-1} = \lambda(A-2I)$. (2 puntos).** Partimos de la igualdad obtenida en el apartado (a): $$A(A-2I) = -I$$ Multiplicamos por $-1$ en ambos lados para obtener la matriz identidad positiva a la derecha: $$-1 \cdot [A(A-2I)] = -1 \cdot (-I)$$ $$A[-(A-2I)] = I$$ $$A(-A+2I) = I$$ Por definición de matriz inversa, si $A \cdot B = I$, entonces $B = A^{-1}$. En este caso: $$A^{-1} = -(A-2I)$$ $$A^{-1} = -1 \cdot (A-2I)$$ Comparando con la expresión del enunciado $A^{-1} = \lambda(A-2I)$, identificamos el valor de $\lambda$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = -1}$$