Optimización del área de un triángulo inscrito en una circunferencia

**a) El área del triángulo en función de $x$. (3 puntos).** Primero, identificamos los elementos geométricos. La circunferencia tiene ecuación $x^2 + y^2 = 5^2$, es decir, $x^2 + y^2 = 25$. Los vértices del triángulo son: - $A = (-5, 0)$ - $B = (x, y)$ - $C = (x, -y)$ Como $B$ y $C$ están sobre la circunferencia, sus coordenadas deben cumplir la ecuación $x^2 + y^2 = 25$. Despejando $y$ (tomando el valor positivo para el punto $B$): $$y^2 = 25 - x^2 \implies y = \sqrt{25 - x^2}$$ La base del triángulo es el segmento $BC$. Al tener la misma abscisa $x$, su longitud es la diferencia de sus ordenadas: $$\text{Base} = |y - (-y)| = 2y = 2\sqrt{25 - x^2}$$ 💡 **Tip:** En una circunferencia $x^2 + y^2 = r^2$, cualquier punto $(x, y)$ cumple $y = \pm\sqrt{r^2 - x^2}$.

La altura del triángulo es la distancia desde el vértice $A(-5, 0)$ hasta la base $BC$ (que está sobre la recta vertical $X = x$). Como $A$ está a la izquierda y el valor de $x$ para $B$ y $C$ está en el intervalo $[-5, 5]$, la altura $h$ es: $$h = x - (-5) = x + 5$$ Ahora, aplicamos la fórmula del área del triángulo $S = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$: $$S(x) = \frac{(2\sqrt{25 - x^2}) \cdot (x + 5)}{2}$$ Simplificando el factor 2: $$\boxed{S(x) = (x + 5)\sqrt{25 - x^2}}$$ El dominio de esta función para que exista el triángulo es $x \in (-5, 5)$.

**b) Los vértices $B$ y $C$ para los que es máxima el área del triángulo. (5 puntos).** Para maximizar el área, calculamos la derivada $S'(x)$ utilizando la regla del producto y de la cadena: $$S'(x) = 1 \cdot \sqrt{25-x^2} + (x+5) \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}$$ Simplificando: $$S'(x) = \sqrt{25-x^2} - \frac{x(x+5)}{\sqrt{25-x^2}}$$ Ponemos a común denominador: $$S'(x) = \frac{(\sqrt{25-x^2})^2 - (x^2 + 5x)}{\sqrt{25-x^2}} = \frac{25 - x^2 - x^2 - 5x}{\sqrt{25-x^2}}$$ $$S'(x) = \frac{-2x^2 - 5x + 25}{\sqrt{25-x^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y que $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-2x^2 - 5x + 25 = 0 \implies 2x^2 + 5x - 25 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25)}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 200}}{4} = \frac{-5 \pm 15}{4}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{10}{4} = 2.5$ 2. $x_2 = \frac{-20}{4} = -5$ (Este valor no es válido ya que coincide con el vértice $A$ y el área sería 0). Analizamos el signo de $S'(x)$ alrededor de $x = 2.5$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-5, 2.5) & 2.5 & (2.5, 5) \\ \hline S'(x) & + & 0 & - \\ S(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array} $$ Como la función pasa de crecer a decrecer, en $x = 2.5$ hay un **máximo relativo**.

Para $x = 2.5$, calculamos el valor de $y$ utilizando $y = \sqrt{25 - x^2}$: $$y = \sqrt{25 - (2.5)^2} = \sqrt{25 - 6.25} = \sqrt{18.75}$$ Como $18.75 = \frac{75}{4}$: $$y = \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$$ Por tanto, los vértices que maximizan el área son: $$\boxed{B = \left(2.5, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right), \quad C = \left(2.5, -\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}$$ Nota: El triángulo resultante es un triángulo equilátero.

**c) El valor máximo del área del triángulo. (2 puntos).** Sustituimos el valor $x = 2.5$ en la función área $S(x)$: $$S(2.5) = (2.5 + 5)\sqrt{25 - 2.5^2} = 7.5 \cdot \sqrt{18.75}$$ $$S(2.5) = 7.5 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$$ Calculando el valor decimal: $$\frac{75\sqrt{3}}{4} \approx 32.476 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{S_{\text{máx}} = \frac{75\sqrt{3}}{4} \approx 32.48 \text{ u}^2}$$