Intersección de rectas, ángulo y plano que las contiene

**a) Las coordenadas del punto $P$ de intersección de las rectas $r$ y $s$. (3 puntos).** Primero, identificamos un punto y el vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones en forma continua: Para la recta $r: \frac{x-4}{3} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-4}{1}$: - Punto $P_r = (4, 4, 4)$ - Vector director $\vec{v}_r = (3, 2, 1)$ Para la recta $s: \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$: - Punto $P_s = (0, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, 2, 3)$ Expresamos ambas rectas en ecuaciones paramétricas usando parámetros distintos ($\lambda$ para $r$ y $\mu$ para $s$): $$r: \begin{cases} x = 4 + 3\lambda \\ y = 4 + 2\lambda \\ z = 4 + \lambda \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 2\mu \\ z = 3\mu \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para pasar de continua a paramétrica, igualamos cada fracción al parámetro y despejamos $x, y, z$.

Para hallar el punto de intersección, igualamos las coordenadas de ambas rectas: 1) $4 + 3\lambda = \mu$ 2) $4 + 2\lambda = 2\mu$ 3) $4 + \lambda = 3\mu$ Sustituimos el valor de $\mu$ de la ecuación (1) en la ecuación (2): $$4 + 2\lambda = 2(4 + 3\lambda)$$ $$4 + 2\lambda = 8 + 6\lambda \implies -4 = 4\lambda \implies \lambda = -1$$ Calculamos ahora el valor de $\mu$ usando $\lambda = -1$ en la ecuación (1): $$\mu = 4 + 3(-1) = 4 - 3 = 1$$ Comprobamos en la tercera ecuación: $$4 + (-1) = 3(1) \implies 3 = 3 \text{ (Se cumple)}$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de $r$ (o $\mu = 1$ en las de $s$) para obtener $P$: $$x = 4 + 3(-1) = 1$$ $$y = 4 + 2(-1) = 2$$ $$z = 4 + (-1) = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(1, 2, 3)}$$

**b) El ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. (3 puntos).** El ángulo $\alpha$ que forman dos rectas es el ángulo agudo que forman sus vectores directores $\vec{v}_r = (3, 2, 1)$ y $\vec{v}_s = (1, 2, 3)$. Utilizamos la fórmula del producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_s|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (3 \cdot 1) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 3) = 3 + 4 + 3 = 10$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$$ $$|\vec{v}_s| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{10}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$$ Para hallar el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{5}{7}\right) \approx 44,42^{\circ}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el ángulo entre dos rectas siempre se toma como el menor de los ángulos posibles (agudo), por eso usamos el valor absoluto en el numerador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{5}{7}\right)}$$

**c) Ecuación implícita $Ax + By + Cz + D = 0$ del plano $\pi$ que contiene a las rectas $r$ y $s$. (4 puntos).** Como las rectas se cortan en el punto $P(1, 2, 3)$, el plano $\pi$ vendrá determinado por ese punto y los vectores directores de las rectas $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$. La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por los elementos de la primera fila: $$(x - 1) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - (y - 2) \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (z - 3) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 1)(6 - 2) - (y - 2)(9 - 1) + (z - 3)(6 - 2) = 0$$ $$4(x - 1) - 8(y - 2) + 4(z - 3) = 0$$ $$4x - 4 - 8y + 16 + 4z - 12 = 0$$ $$4x - 8y + 4z = 0$$ Dividimos toda la ecuación por 4 para simplificar: $$x - 2y + z = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos. Si las rectas se cortan, los vectores directores de las mismas sirven como vectores del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - 2y + z = 0}$$