Estudio de determinantes e inversión de matrices con parámetros

**a) Obtener razonadamente el valor de $x$ para que el determinante de la matriz $A(x)$ sea 6. (4 puntos).** Primero, calculamos el determinante de la matriz $A(x)$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila/columna. En este caso, aplicaremos la regla de Sarrus: $$|A(x)| = \begin{vmatrix} x+2 & 4 & 3 \\ x+2 & 6 & 2 \\ x+3 & 8 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A(x)| = (x+2) \cdot 6 \cdot 2 + 4 \cdot 2 \cdot (x+3) + 3 \cdot (x+2) \cdot 8 - [3 \cdot 6 \cdot (x+3) + 4 \cdot (x+2) \cdot 2 + (x+2) \cdot 8 \cdot 2]$$ Operamos cada término: - $12(x+2) + 8(x+3) + 24(x+2) = 12x + 24 + 8x + 24 + 24x + 48 = 44x + 96$ - $[18(x+3) + 8(x+2) + 16(x+2)] = [18x + 54 + 8x + 16 + 16x + 32] = [42x + 102]$ Restamos ambos resultados: $$|A(x)| = (44x + 96) - (42x + 102) = 2x - 6$$ 💡 **Tip:** Para simplificar, podrías haber restado filas: $F_2 - F_1$ y $F_3 - F_2$ antes de calcular el determinante. $$\boxed{|A(x)| = 2x - 6}$$

Una vez obtenida la expresión del determinante en función de $x$, igualamos a 6 según lo solicitado en el enunciado: $$2x - 6 = 6$$ $$2x = 12$$ $$x = 6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 6}$$

**b) Calcular razonadamente el determinante de la matriz $2 A(x)$. (2 puntos).** Para resolver este apartado, aplicamos la propiedad de los determinantes que indica que si multiplicamos una matriz de orden $n$ por un número real $k$, el determinante queda multiplicado por $k^n$. Es decir: $$|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$$ En nuestro caso, la matriz $A(x)$ es de orden $3 \times 3$ ($n=3$) y el escalar es $k=2$: $$|2 A(x)| = 2^3 \cdot |A(x)| = 8 \cdot |A(x)|$$ Sustituyendo la expresión hallada anteriormente $|A(x)| = 2x - 6$: $$|2 A(x)| = 8(2x - 6) = 16x - 48$$ Si consideramos el valor de $x=6$ hallado en el apartado anterior (donde $|A(x)|=6$): $$|2 A(x)| = 8 \cdot 6 = 48$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al multiplicar una matriz por un número, multiplicas todas sus filas. Como hay 3 filas, el factor 2 sale fuera del determinante elevado al cubo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|2 A(x)| = 16x - 48 \quad (o \, 48 \text{ si } x=6)}$$

**c) Demostrar que la matriz $B(y)$ no tiene matriz inversa para ningún valor real de $y$. (4 puntos).** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|B(y)| \neq 0$). Por tanto, debemos calcular el determinante de $B(y)$ y comprobar su valor. $$|B(y)| = \begin{vmatrix} y+1 & 4 & 3 \\ y+2 & 6 & 2 \\ y+3 & 8 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos transformaciones elementales para simplificar (que no varían el valor del determinante): - $F_2 \to F_2 - F_1$: $(y+2)-(y+1) = 1$; $6-4 = 2$; $2-3 = -1$. La nueva fila es $(1, 2, -1)$. - $F_3 \to F_3 - F_2$: $(y+3)-(y+2) = 1$; $8-6 = 2$; $1-2 = -1$. La nueva fila es $(1, 2, -1)$. El determinante queda: $$|B(y)| = \begin{vmatrix} y+1 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Observamos que las filas $F_2$ y $F_3$ son idénticas. Según las propiedades de los determinantes, si una matriz tiene dos filas iguales, su determinante es nulo. $$|B(y)| = 0 \quad \forall y \in \mathbb{R}$$ Como el determinante es 0 independientemente del valor de $y$, la matriz $B(y)$ no es regular y no admite inversa. 💡 **Tip:** Si no ves la propiedad de las filas iguales, al aplicar Sarrus verás que todos los términos con $y$ y los términos independientes se cancelan entre sí: $(38y+78) - (38y+78) = 0$. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Como } |B(y)| = 0, \text{ la matriz } B(y) \text{ no tiene inversa para ningún } y \in \mathbb{R}}$$