Intersección de curvas, desigualdades y cálculo de áreas

**a) Obtener razonadamente los puntos de intersección $A$ y $B$ de las curvas $y = f(x)$ e $y = g(x)$. (3 puntos).** Para encontrar los puntos de intersección, igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies x^3 = 2x^2 - x$$ Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación para obtener una ecuación polinómica: $$x^3 - 2x^2 + x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 2x + 1) = 0$$ Observamos que el paréntesis es una identidad notable (el cuadrado de una resta): $$x(x - 1)^2 = 0$$ Las soluciones de esta ecuación son: 1. $x = 0$ 2. $(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$ (raíz doble) Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en cualquiera de las funciones (por ejemplo en $f(x) = x^3$): - Para $x = 0$: $y = f(0) = 0^3 = 0 \implies \mathbf{A(0, 0)}$ - Para $x = 1$: $y = f(1) = 1^3 = 1 \implies \mathbf{B(1, 1)}$ 💡 **Tip:** Los puntos de intersección de dos curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$ se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones formado por ambas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(0, 0) \text{ y } B(1, 1)}$$

**b) Demostrar que $f(x) \ge g(x)$ cuando $x \ge 0$. (3 puntos).** Definimos la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x)$ y estudiamos su signo para $x \ge 0$: $$h(x) = x^3 - (2x^2 - x) = x^3 - 2x^2 + x$$ Como hemos visto en el apartado anterior, esta expresión se puede factorizar como: $$h(x) = x(x - 1)^2$$ Analicemos el signo de cada factor para el intervalo $x \ge 0$: - El factor **$x$** es, por hipótesis del enunciado, mayor o igual a cero ($x \ge 0$). - El factor **$(x - 1)^2$** es un cuadrado perfecto. Cualquier número real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual a cero, es decir, $(x - 1)^2 \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Como $h(x)$ es el producto de dos términos no negativos para $x \ge 0$: $$h(x) = \underbrace{x}_{\ge 0} \cdot \underbrace{(x - 1)^2}_{\ge 0} \ge 0$$ Si $h(x) \ge 0$, entonces $f(x) - g(x) \ge 0$, lo que implica que **$f(x) \ge g(x)$** para todo $x \ge 0$. 💡 **Tip:** Para demostrar que $f(x) \ge g(x)$, lo más sencillo es demostrar que su diferencia $f(x) - g(x)$ es no negativa en el intervalo indicado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \ge g(x) \text{ para } x \ge 0 \text{ queda demostrado.}}$$

**c) Calcular razonadamente el área de la superficie limitada por las dos curvas entre los puntos $A$ y $B$. (4 puntos).** El área comprendida entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ viene dada por la integral definida del valor absoluto de su diferencia. Dados los puntos $A(0,0)$ y $B(1,1)$, el intervalo de integración es $[0, 1]$. Gracias al apartado (b), sabemos que en este intervalo $f(x) \ge g(x)$, por lo que no necesitamos el valor absoluto: $$Area = \int_{0}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) \, dx$$ Calculamos la primitiva término a término: $$\int (x^3 - 2x^2 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $0$ y $1$: $$Area = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ $$Area = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right)$$ $$Area = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) - 0$$ Buscamos denominador común (m.c.m. de 4, 3 y 2 es 12): $$Area = \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{1}{12} \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = \dfrac{1}{12} \text{ u}^2}$$