Geometría en el espacio: planos, rectas y proyecciones

**a) La ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $O = (0,0,0)$, $A = (6,-3,0)$ y $B = (3,0,1)$. (3 puntos).** Para hallar la ecuación de un plano, necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos, o bien un punto y un vector normal. Tomamos el punto $O(0,0,0)$ y obtenemos los vectores directores $\vec{OA}$ y $\vec{OB}$: $$\vec{OA} = A - O = (6, -3, 0)$$ $$\vec{OB} = B - O = (3, 0, 1)$$ Como los vectores no son proporcionales (no existe $k$ tal que $\vec{OA} = k\vec{OB}$), definen correctamente el plano.

El vector normal $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n_\pi} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & -3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{n_\pi} = \vec{i}(-3\cdot 1 - 0\cdot 0) - \vec{j}(6\cdot 1 - 0\cdot 3) + \vec{k}(6\cdot 0 - (-3)\cdot 3)$$ $$\vec{n_\pi} = -3\vec{i} - 6\vec{j} + 9\vec{k} = (-3, -6, 9)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal. Dividimos entre $-3$: $$\vec{n} = (1, 2, -3)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector múltiplo del vector normal también es normal al plano y simplifica la ecuación final.

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las coordenadas del vector normal $\vec{n} = (1, 2, -3)$. Sustituimos el vector normal: $$1x + 2y - 3z + D = 0$$ Como el plano pasa por el origen $O(0,0,0)$: $$0 + 2(0) - 3(0) + D = 0 \implies D = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi: x + 2y - 3z = 0}$$

**b) La ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $P = (8,7,-2)$ y es perpendicular al plano $\pi$. (3 puntos).** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, el vector director de la recta $\vec{d_r}$ debe ser el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Del apartado anterior, tenemos: $$\vec{d_r} = \vec{n_\pi} = (1, 2, -3)$$ La recta pasa por el punto $P(8, 7, -2)$. Usamos la ecuación paramétrica de la recta: $$r: \begin{cases} x = 8 + \lambda \\ y = 7 + 2\lambda \\ z = -2 - 3\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para definir una recta basta con un punto y un vector director. Si es perpendicular a un plano, el vector normal del plano es el director de la recta. ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{r: (x, y, z) = (8, 7, -2) + \lambda(1, 2, -3)}$$

**c) El punto $Q$ del plano $\pi$ cuya distancia al punto $P$ es menor que la distancia de cualquier otro punto del plano $\pi$ al punto $P$. (4 puntos).** El punto del plano más cercano a un punto exterior $P$ es siempre su **proyección ortogonal** sobre el plano. Este punto $Q$ es, por definición, el punto de intersección entre la recta $r$ (que es perpendicular al plano y pasa por $P$) y el propio plano $\pi$.

Para hallar $Q$, sustituimos las expresiones de las coordenadas de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: Ecuaciones de $r$: $x = 8 + \lambda$, $y = 7 + 2\lambda$, $z = -2 - 3\lambda$. Ecuación de $\pi$: $x + 2y - 3z = 0$. Sustituyendo: $$(8 + \lambda) + 2(7 + 2\lambda) - 3(-2 - 3\lambda) = 0$$ Desarrollamos los paréntesis: $$8 + \lambda + 14 + 4\lambda + 6 + 9\lambda = 0$$ Agrupamos términos semejantes: $$(1 + 4 + 9)\lambda + (8 + 14 + 6) = 0$$ $$14\lambda + 28 = 0$$ Resolvemos para $\lambda$: $$14\lambda = -28 \implies \lambda = -\frac{28}{14} = -2$$

Sustituimos el valor $\lambda = -2$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ para encontrar el punto $Q$: $$x = 8 + (-2) = 6$$ $$y = 7 + 2(-2) = 7 - 4 = 3$$ $$z = -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4$$ Por tanto, el punto $Q$ es $(6, 3, 4)$. 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar el resultado sustituyendo $Q$ en la ecuación del plano: $6 + 2(3) - 3(4) = 6 + 6 - 12 = 0$. ¡Es correcto! ✅ **Resultado (Punto Q):** $$\boxed{Q = (6, 3, 4)}$$