Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Deducir, razonadamente, para qué valores de $\alpha$ es compatible determinado. (4 puntos).** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha^3 & 1 \\ \alpha & \alpha & 1 \\ \alpha^3 & \alpha & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha^3 & 1 & | & 1 \\ \alpha & \alpha & 1 & | & 1 \\ \alpha^3 & \alpha & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calculamos el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo (rango 3). 💡 **Tip:** Un sistema es Compatible Determinado (SCD) si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$, donde $n$ es el número de incógnitas (en este caso, 3).

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus o propiedades de los determinantes: $$\det(A) = \begin{vmatrix} \alpha & \alpha^3 & 1 \\ \alpha & \alpha & 1 \\ \alpha^3 & \alpha & 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = (\alpha \cdot \alpha \cdot 1) + (\alpha \cdot \alpha \cdot 1) + (\alpha^3 \cdot \alpha^3 \cdot 1) - [(\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha^3) + (\alpha \cdot \alpha \cdot 1) + (1 \cdot \alpha^3 \cdot \alpha)]$$ $$\det(A) = (\alpha^2 + \alpha^2 + \alpha^6) - (\alpha^5 + \alpha^2 + \alpha^4)$$ Sin embargo, es más sencillo restar filas para obtener ceros. Hacemos $F_2 - F_1 \to F_2$ y $F_3 - F_2 \to F_3$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} \alpha & \alpha^3 & 1 \\ 0 & \alpha - \alpha^3 & 0 \\ \alpha^3 - \alpha & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & \alpha - \alpha^3 \\ \alpha^3 - \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0 - (\alpha^3 - \alpha)(\alpha - \alpha^3) = (\alpha^3 - \alpha)^2$$ Factorizamos la expresión: $$\det(A) = [\alpha(\alpha^2 - 1)]^2 = \alpha^2(\alpha - 1)^2(\alpha + 1)^2$$ 💡 **Tip:** Factorizar el determinante es fundamental para encontrar las raíces fácilmente.

El sistema será Compatible Determinado si $\det(A) \neq 0$. Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos: $$\alpha^2(\alpha - 1)^2(\alpha + 1)^2 = 0 \implies \alpha = 0, \alpha = 1, \alpha = -1$$ Por lo tanto, si $\alpha \neq 0$, $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq -1$, entonces $\det(A) \neq 0$, lo que implica que $\text{rg}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es Compatible Determinado. ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{\text{El sistema es SCD para } \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\}}$$

**b) Deducir, razonadamente, para qué valores de $\alpha$ es compatible indeterminado. (3 puntos).** Analizamos los casos en los que $\det(A) = 0$: **Caso 1: $\alpha = 0$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Las tres filas son iguales, por lo que $\text{rg}(A) = 1$ y $\text{rg}(A^*) = 1$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. **Caso 2: $\alpha = 1$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Las tres filas son iguales, por lo que $\text{rg}(A) = 1$ y $\text{rg}(A^*) = 1$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. **Caso 3: $\alpha = -1$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & | & 1 \\ -1 & -1 & 1 & | & 1 \\ -1 & -1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Las tres filas son iguales, por lo que $\text{rg}(A) = 1$ y $\text{rg}(A^*) = 1$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{\text{El sistema es SCI para } \alpha = 0, \alpha = 1, \alpha = -1}$$

**c) Resolver el sistema en todos los casos en que es compatible indeterminado. (3 puntos).** **Si $\alpha = 0$:** El sistema se reduce a una única ecuación independiente: $$0x + 0y + z = 1 \implies z = 1$$ Las variables $x$ e $y$ pueden tomar cualquier valor real. Parametrizamos $x = \lambda$ e $y = \mu$: ✅ **Solución ($\alpha=0$):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = \mu \\ z = 1 \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$

**Si $\alpha = 1$:** El sistema se reduce a: $$x + y + z = 1$$ Despejamos una variable, por ejemplo $z = 1 - x - y$, y parametrizamos $x = \lambda$, $y = \mu$: ✅ **Solución ($\alpha=1$):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = \mu \\ z = 1 - \lambda - \mu \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$

**Si $\alpha = -1$:** El sistema se reduce a: $$-x - y + z = 1$$ Despejamos una variable, por ejemplo $z = 1 + x + y$, y parametrizamos $x = \lambda$, $y = \mu$: ✅ **Solución ($\alpha=-1$):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = \mu \\ z = 1 + \lambda + \mu \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En los sistemas con rango 1, la solución depende de $n - ext{rg}(A) = 3 - 1 = 2$ parámetros.