Volumen de un tetraedro y simétrico de un punto respecto a un plano

**a) (1 punto) Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos $P, Q$ y $R$.** El tetraedro está formado por el origen $O(0, 0, 0)$ y los puntos $P(1, 0, 0)$, $Q(0, 2, 0)$ y $R(0, 0, 3)$. Para calcular su volumen, definimos los vectores que parten del origen hacia los otros tres vértices: $$\vec{OP} = (1, 0, 0)$$ $$\vec{OQ} = (0, 2, 0)$$ $$\vec{OR} = (0, 0, 3)$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro definido por tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ que comparten un vértice es la sexta parte del valor absoluto de su producto mixto: $V = \frac{1}{6} |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$.

Calculamos el producto mixto de los vectores $\vec{OP}$, $\vec{OQ}$ y $\vec{OR}$ mediante el determinante de la matriz formada por sus componentes: $$[\vec{OP}, \vec{OQ}, \vec{OR}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Al ser una matriz diagonal, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$|A| = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$$ Aplicamos la fórmula del volumen: $$V = \frac{1}{6} \cdot |6| = 1 \text{ u}^3$$ ✅ **Resultado (volumen):** $$\boxed{V = 1 \text{ u}^3}$$

**b) (1 punto) Calcular las coordenadas del punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano $\pi$.** Primero necesitamos la ecuación general del plano $\pi$ que pasa por $P(1, 0, 0)$, $Q(0, 2, 0)$ y $R(0, 0, 3)$. Dado que estos puntos están sobre los ejes de coordenadas, podemos usar la **ecuación segmentaria**: $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \implies \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$$ Multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (6) para obtener la forma general: $$6x + 3y + 2z = 6 \implies 6x + 3y + 2z - 6 = 0$$ El vector normal al plano es: $$\vec{n_\pi} = (6, 3, 2)$$ 💡 **Tip:** Si un plano corta a los ejes en $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$ y $(0, 0, c)$, su ecuación es $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Para hallar el simétrico del origen $O(0, 0, 0)$, trazamos una recta $r$ perpendicular al plano $\pi$ que pase por $O$. El vector director de esta recta será el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Ecuaciones paramétricas de $r$: $$r: \begin{cases} x = 0 + 6\lambda \\ y = 0 + 3\lambda \\ z = 0 + 2\lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = 6\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$ Esta recta contiene al origen, al punto de corte con el plano (punto medio $M$) y al punto simétrico $O'$.

Calculamos el punto de intersección $M = r \cap \pi$ sustituyendo las coordenadas de la recta en la ecuación del plano: $$6(6\lambda) + 3(3\lambda) + 2(2\lambda) - 6 = 0$$ $$36\lambda + 9\lambda + 4\lambda = 6$$ $$49\lambda = 6 \implies \lambda = \frac{6}{49}$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las ecuaciones de la recta para hallar $M$: $$x_M = 6 \left(\frac{6}{49}\right) = \frac{36}{49}$$ $$y_M = 3 \left(\frac{6}{49}\right) = \frac{18}{49}$$ $$z_M = 2 \left(\frac{6}{49}\right) = \frac{12}{49}$$ $$M\left(\frac{36}{49}, \frac{18}{49}, \frac{12}{49}\right)$$

El punto $M$ es el punto medio del segmento $OO'$, donde $O'$ es el simétrico buscado $O'(x', y', z')$. Por la propiedad del punto medio: $$M = \frac{O + O'}{2} \implies O' = 2M - O$$ Como $O$ es $(0, 0, 0)$: $$x' = 2 \cdot \frac{36}{49} - 0 = \frac{72}{49}$$ $$y' = 2 \cdot \frac{18}{49} - 0 = \frac{36}{49}$$ $$z' = 2 \cdot \frac{12}{49} - 0 = \frac{24}{49}$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{O'\left(\frac{72}{49}, \frac{36}{49}, \frac{24}{49}\right)}$$