Geometría en el espacio: planos y distancias

**a) (1 punto) Hallar la ecuación del plano $\pi$ determinado por $r$ y $s$.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$ (en forma continua): - Punto $P_r = (0, 1, -1)$ - Vector director $\vec{v_r} = (1, 2, -1)$ Para la recta $s$ (en forma implícita), resolvemos el sistema para obtener sus parámetros. Sea $x = \lambda$: $$x = \lambda$$ De $x + z = 3 \implies z = 3 - \lambda$ De $2x - y = 2 \implies y = 2\lambda - 2$ Así, para la recta $s$ tenemos: - Punto $P_s = (0, -2, 3)$ - Vector director $\vec{v_s} = (1, 2, -1)$ 💡 **Tip:** Una recta en forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$ tiene como punto $(x_0, y_0, z_0)$ y vector $(v_1, v_2, v_3)$.

Observamos que los vectores directores son iguales: $\vec{v_r} = \vec{v_s} = (1, 2, -1)$. Por lo tanto, las rectas son **paralelas o coincidentes**. Comprobamos si el punto $P_r(0, 1, -1)$ pertenece a $s$ sustituyendo en sus ecuaciones: $$0 + (-1) = -1 \neq 3$$ Como no satisface la primera ecuación, las rectas son **paralelas y distintas**. Para determinar el plano $\pi$ que las contiene, necesitamos un punto (usaremos $P_r$) y dos vectores directores linealmente independientes contenidos en el plano: 1. El vector director de las rectas: $\vec{v_r} = (1, 2, -1)$. 2. El vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_r P_s} = (0 - 0, -2 - 1, 3 - (-1)) = (0, -3, 4)$.

El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores: $$\vec{n} = \vec{v_r} \times \vec{P_r P_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n} = \vec{i}(2 \cdot 4) + \vec{j}(-1 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot (-3)) - [\vec{k}(2 \cdot 0) + \vec{i}(-1 \cdot (-3)) + \vec{j}(1 \cdot 4)]$$ $$\vec{n} = 8\vec{i} - 3\vec{k} - (3\vec{i} + 4\vec{j}) = 5\vec{i} - 4\vec{j} - 3\vec{k} = (5, -4, -3)$$ La ecuación del plano será de la forma $5x - 4y - 3z + D = 0$. Sustituimos el punto $P_r(0, 1, -1)$: $$5(0) - 4(1) - 3(-1) + D = 0 \implies -4 + 3 + D = 0 \implies D = 1$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi \equiv 5x - 4y - 3z + 1 = 0}$$

**b) (1 punto) Hallar la distancia desde el punto $A(0, 1, -1)$ a la recta $s$.** Notamos que el punto $A(0, 1, -1)$ es precisamente el punto $P_r$ que hemos usado antes. Para hallar la distancia de un punto $A$ a una recta $s$, usamos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(A, s) = \frac{|\vec{v_s} \times \vec{P_s A}|}{|\vec{v_s}|}$$ Ya conocemos: - $\vec{v_s} = (1, 2, -1)$ - $P_s = (0, -2, 3)$ - $\vec{P_s A} = (0-0, 1-(-2), -1-3) = (0, 3, -4)$ Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{v_s} \times \vec{P_s A}$: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \vec{i}(-8 + 3) - \vec{j}(-4 - 0) + \vec{k}(3 - 0) = (-5, 4, 3)$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto a una recta representa la altura del paralelogramo formado por el vector director de la recta y el vector que une el punto con la recta.

Calculamos los módulos necesarios: - $|\vec{v_s} \times \vec{P_s A}| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ - $|\vec{v_s}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(A, s) = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{50}{6}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(A, s) = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(A, s) = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \text{ u.}}$$