Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro $a$.** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ a & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 & a \\ a & 0 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que: - Si $rank(A) = rank(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es Compatible Determinado (SCD). - Si $rank(A) = rank(A^*) < n$, el sistema es Compatible Indeterminado (SCI). - Si $rank(A) \neq rank(A^*)$, el sistema es Incompatible (SI).

Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo (3). Desarrollamos por la segunda columna, ya que tiene dos ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & -1 \\ a & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -a \begin{vmatrix} a & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 - 0$$ $$|A| = -a(a \cdot 1 - 2 \cdot 1) = -a(a - 2) = -a^2 + 2a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^2 + 2a = 0 \implies a(-a + 2) = 0 \implies \mathbf{a = 0, a = 2}$$ 💡 **Tip:** Desarrollar por una fila o columna con muchos ceros simplifica enormemente el cálculo del determinante.

Si $a \neq 0$ y $a \neq 2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es 3. Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango también debe ser 3. $$rank(A) = rank(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, 2: \text{ Sistema Compatible Determinado (SCD). Tiene solución única.}}$$

Para $a = 0$, las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rank(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies rank(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Como la columna 2 es nula, el rango de $A^*$ será el mismo que el de la matriz formada por las columnas 1, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 \cdot (-2)) + (-1 \cdot (-2) \cdot 1) + 0 - (0 + (-2 \cdot 1 \cdot 1) + 0)$$ $$= -4 + 2 - (-2) = -4 + 2 + 2 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $rank(A^*) = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0: rank(A) = rank(A^*) = 2 < 3 \implies \text{ Sistema Compatible Indeterminado (SCI).}}$$

Para $a = 2$, las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$. Observamos que en $A$, la columna 3 es igual a la columna 1 multiplicada por $-1$ y luego sumada a la 2 (o simplemente que el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$), por lo que $rank(A) = 2$. Estudiamos el rango de $A^*$ usando las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2(-4 - (-2)) = 2(-2) = -4 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $rank(A^*) = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2: rank(A) = 2 \neq rank(A^*) = 3 \implies \text{ Sistema Incompatible (SI).}}$$

**b) (1 punto) Resolverlo en el caso $a = 0$.** Sustituimos $a = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} x - z = 0 \\ 2z = -2 \\ x + z = -2 \end{cases}$$ De la segunda ecuación despejamos $z$ directamente: $$2z = -2 \implies \mathbf{z = -1}$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$x - (-1) = 0 \implies x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = -1}$$ Comprobamos en la tercera ecuación: $$-1 + (-1) = -2 \implies -2 = -2 \quad \text{(Correcto)}$$ Como el sistema es SCI y el rango es 2, una de las incógnitas debe ser un parámetro libre. En este caso, la variable $y$ no aparece en ninguna ecuación cuando $a=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = -1 \\ y = \lambda \\ z = -1 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$