Continuidad, puntos de corte y recta tangente de una función a trozos

**a) (1 punto) Determinar el valor de $k$ para que la función sea continua en $\mathbb{R}$.** Primero, analizamos la continuidad en cada rama: - Para $x < 0$, $f(x) = x + k$ es una función polinómica, por lo que es continua en $(-\infty, 0)$. - Para $x > 0$, $f(x) = \frac{\sqrt{x} \ln x}{2^x}$ es un cociente de funciones continuas donde el denominador $2^x$ nunca se anula. El dominio de $\sqrt{x}$ y $\ln x$ es $x > 0$, por lo que es continua en $(0, +\infty)$. El único punto de posible discontinuidad es $x = 0$. Para que sea continua en $x = 0$, se debe cumplir: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ 1. **Valor de la función y límite por la izquierda:** $$f(0) = 0 + k = k$$ $$\lim_{x \to 0^-} (x + k) = k$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el valor de la función coincide con sus límites laterales.

Calculamos el límite por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x} \ln x}{2^x}$$ Como el denominador tiende a $2^0 = 1$, el límite depende del numerador $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \ln x$. Esto presenta una indeterminación del tipo $0 \cdot (-\infty)$. Reescribimos para aplicar la **Regla de L'Hôpital** ($x^{1/2} = \sqrt{x}$): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-1/2}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right] = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}x^{-3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \cdot (-2x\sqrt{x}) = \lim_{x \to 0^+} -2\sqrt{x} = 0$$ Por tanto: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{0}{1} = 0$$ Para que sea continua, igualamos los límites laterales: $$k = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 0}$$

**b) (1 punto) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.** Utilizamos la función con $k = 0$: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x} \ln x}{2^x} , & \text{si } x > 0 , \\ x , & \text{si } x \le 0 , \end{cases}$$ 1. **Corte con el eje $Y$ (abscisa $x = 0$):** $$f(0) = 0 \implies \mathbf{(0, 0)}$$ 2. **Corte con el eje $X$ (ordenada $f(x) = 0$):** - En la rama $x \le 0$: $x = 0$. Obtenemos el punto **$(0, 0)$**. - En la rama $x > 0$: $\frac{\sqrt{x} \ln x}{2^x} = 0 \implies \sqrt{x} \ln x = 0$. Como $x > 0$, $\sqrt{x}$ no puede ser cero. Entonces $\ln x = 0 \implies x = e^0 = 1$. Obtenemos el punto **$(1, 0)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Puntos de corte: } (0, 0) \text{ y } (1, 0)}$$

**c) (1 punto) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$.** Como $x = 1 > 0$, utilizamos la rama $f(x) = \frac{\sqrt{x} \ln x}{2^x}$. El punto de tangencia es $(1, f(1))$. Ya sabemos que $f(1) = 0$ (punto de corte calculado antes). Calculamos la derivada $f'(x)$ mediante la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \right) \cdot 2^x - (\sqrt{x} \ln x) \cdot 2^x \ln 2}{(2^x)^2}$$ Evaluamos en $x = 1$: - $f(1) = 0$ - $f'(1) = \frac{\left( \frac{1}{2\sqrt{1}} \ln 1 + \frac{1}{\sqrt{1}} \right) \cdot 2^1 - (\sqrt{1} \ln 1) \cdot 2^1 \ln 2}{(2^1)^2}$ Como $\ln 1 = 0$: $$f'(1) = \frac{(0 + 1) \cdot 2 - 0}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en $x=a$ es $m = f'(a)$.

Utilizamos la ecuación punto-pendiente: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Con $x_0 = 1$, $f(1) = 0$ y $f'(1) = \frac{1}{2}$: $$y - 0 = \frac{1}{2}(x - 1)$$ Simplificando: $$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}$$

A continuación se muestra la gráfica de la función (con $k=0$) y la recta tangente hallada en el punto $(1,0)$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\{x \\le 0: x, x > 0: \\\frac{\\sqrt{x} \\ln x}{2^x}\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "t", "latex": "y = 0.5(x-1)", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "p1", "latex": "(0,0)", "color": "#111827" }, { "id": "p2", "latex": "(1,0)", "color": "#111827" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 4, "bottom": -2, "top": 2 } } }