Ecuación matricial y potencias de una matriz

**a) (1 punto) Hallar dos constantes $a, b$, tales que $A^2 = aA + bI$.** En primer lugar, calculamos el cuadrado de la matriz $A$ multiplicándola por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento (1,1): $1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2$ - Elemento (1,2): $1\cdot 1 + 1\cdot(-2) = -1$ - Elemento (2,1): $1\cdot 1 + (-2)\cdot 1 = -1$ - Elemento (2,2): $1\cdot 1 + (-2)\cdot(-2) = 1 + 4 = 5$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda.

Sustituimos las matrices en la igualdad $A^2 = aA + bI$: $$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a \\ a & -2a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & a \\ a & -2a+b \end{pmatrix}$$ Igualamos los elementos correspondientes de las matrices para obtener un sistema de ecuaciones: 1) $2 = a + b$ 2) $-1 = a$ De la segunda ecuación obtenemos directamente **$a = -1$**. Sustituimos este valor en la primera: $$2 = -1 + b \implies b = 2 + 1 = 3$$ Comprobamos en el último elemento (2,2): $-2a + b = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$. La solución es correcta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1, \quad b = 3}$$ Por tanto, la relación es: **$A^2 = -A + 3I$**.

**b) (1 punto) Sin calcular explícitamente $A^3$ y $A^4$, y utilizando sólo la expresión anterior, obtener la matriz $A^5$.** Utilizaremos la relación $A^2 = -A + 3I$ de forma recursiva. Para $A^3$: $$A^3 = A \cdot A^2 = A(-A + 3I) = -A^2 + 3A$$ Sustituimos de nuevo $A^2$: $$A^3 = -(-A + 3I) + 3A = A - 3I + 3A = 4A - 3I$$ Para $A^4$: $$A^4 = A \cdot A^3 = A(4A - 3I) = 4A^2 - 3A$$ Sustituimos $A^2$: $$A^4 = 4(-A + 3I) - 3A = -4A + 12I - 3A = -7A + 12I$$ 💡 **Tip:** Este método de reducción permite expresar cualquier potencia de una matriz como una combinación lineal de la propia matriz y la identidad, basándose en el Teorema de Cayley-Hamilton.

Calculamos $A^5$ siguiendo el mismo procedimiento: $$A^5 = A \cdot A^4 = A(-7A + 12I) = -7A^2 + 12A$$ Sustituimos $A^2$ por su expresión: $$A^5 = -7(-A + 3I) + 12A = 7A - 21I + 12A = 19A - 21I$$ Ahora realizamos la operación con los valores numéricos de las matrices: $$A^5 = 19 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} - 21 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^5 = \begin{pmatrix} 19 & 19 \\ 19 & -38 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 21 & 0 \\ 0 & 21 \end{pmatrix}$$ $$A^5 = \begin{pmatrix} 19-21 & 19-0 \\ 19-0 & -38-21 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^5 = \begin{pmatrix} -2 & 19 \\ 19 & -59 \end{pmatrix}}$$