Sistema homogéneo con parámetros

**a) (1 punto) Determinar para qué valores del parámetro $k$ el sistema tiene soluciones distintas de $x = y = z = 0$.** Un sistema de ecuaciones se denomina **homogéneo** cuando todos los términos independientes son cero. Estos sistemas siempre son compatibles, ya que al menos admiten la **solución trivial** $x=y=z=0$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial (es decir, sea un Sistema Compatible Indeterminado), el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser menor que el número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero: $$|A| = 0$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & k & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -4 & k \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas tiene soluciones no triviales si $|A|=0$.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -4 & k \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-1) \cdot k + k \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \cdot (-4)] - [1 \cdot (-1) \cdot (-1) + (-4) \cdot 2 \cdot 1 + k \cdot 2 \cdot k]$$ $$|A| = [-k + 2k + 8] - [1 - 8 + 2k^2]$$ $$|A| = (k + 8) - (2k^2 - 7)$$ $$|A| = -2k^2 + k + 15$$ Para que existan soluciones distintas de la trivial, imponemos $|A| = 0$: $$-2k^2 + k + 15 = 0$$

Resolvemos la ecuación $-2k^2 + k + 15 = 0$ multiplicando por $-1$ para facilitar el cálculo: $2k^2 - k - 15 = 0$. Aplicamos la fórmula general: $$k = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)}}{2 \cdot 2}$$ $$k = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{1 \pm 11}{4}$$ Obtenemos dos valores posibles para $k$: 1. $k_1 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$ 2. $k_2 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$ ✅ **Resultado (valores de $k$):** $$\boxed{k = 3 \quad \text{y} \quad k = -\frac{5}{2}}$$

**b) (1 punto) Resolverlo para el caso $k = 3$.** Sustituimos $k=3$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + 3y - z = 0 \\ 2x - y + 2z = 0 \\ x - 4y + 3z = 0 \end{cases}$$ Sabemos por el apartado anterior que para $k=3$ el determinante es $|A|=0$. Vamos a determinar el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 6 = -7 \neq 0$$ Como el determinante de orden 2 es no nulo, el **rango de A es 2**. Esto significa que el sistema tiene una variable libre (grado de libertad $3 - 2 = 1$). Podemos descartar una ecuación (la tercera, por ser combinación lineal de las otras) y resolver el sistema formado por las dos primeras en función de un parámetro. 💡 **Tip:** En un sistema indeterminado, el número de parámetros necesarios es igual a $n - rg(A)$.

Utilizamos las dos primeras ecuaciones y pasamos la variable $z$ al segundo miembro como un parámetro: $$\begin{cases} x + 3y = z \\ 2x - y = -2z \end{cases}$$ Hacemos $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} (1) \quad x + 3y = \lambda \\ (2) \quad 2x - y = -2\lambda \end{cases}$$ De la ecuación (2), despejamos $y$: $$y = 2x + 2\lambda$$ Sustituimos en la ecuación (1): $$x + 3(2x + 2\lambda) = \lambda$$ $$x + 6x + 6\lambda = \lambda$$ $$7x = -5\lambda \implies x = -\frac{5}{7}\lambda$$ Ahora calculamos $y$ sustituyendo el valor de $x$: $$y = 2\left(-\frac{5}{7}\lambda\right) + 2\lambda = -\frac{10}{7}\lambda + \frac{14}{7}\lambda = \frac{4}{7}\lambda$$ ✅ **Resultado (solución del sistema):** $$\boxed{\begin{cases} x = -\frac{5}{7}\lambda \\ y = \frac{4}{7}\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$