Recta perpendicular común y mínima distancia entre dos rectas

**a) (2 puntos) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a $r$ y $s$.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones continuas: Para la recta $r$: - Punto $P_r(0, 1, -4)$ - Vector director $\vec{v_r} = (2, 3, -1)$ Para la recta $s$: - Punto $P_s(0, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v_s} = (1, 1, 4)$ Calculamos también el vector que une ambos puntos: $\vec{P_s P_r} = (0-0, 1-0, -4-0) = (0, 1, -4)$. 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

La recta perpendicular común, llamémosla $t$, debe tener un vector director $\vec{v_t}$ que sea perpendicular a la vez a $\vec{v_r}$ y a $\vec{v_s}$. Este vector se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{v_t} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ Resolvemos desarrollando por la primera fila (Sarrus): $$\vec{v_t} = (3 \cdot 4 - (-1) \cdot 1)\mathbf{i} - (2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1)\mathbf{j} + (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{v_t} = (12 + 1)\mathbf{i} - (8 + 1)\mathbf{j} + (2 - 3)\mathbf{k} = (13, -9, -1)$$ $$\boxed{\vec{v_t} = (13, -9, -1)}$$

La recta $t$ se puede expresar como la intersección de dos planos: - El plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y tiene como dirección $\vec{v_t}$. - El plano $\pi_2$ que contiene a $s$ y tiene como dirección $\vec{v_t}$. **Plano $\pi_1$:** Contiene al punto $P_r(0, 1, -4)$ y a los vectores $\vec{v_r}(2, 3, -1)$ y $\vec{v_t}(13, -9, -1)$. $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 1 & z + 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 13 & -9 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x)(-3-9) - (y-1)(-2+13) + (z+4)(-18-39) = 0$$ $$-12x - 11(y-1) - 57(z+4) = 0 \implies -12x - 11y + 11 - 57z - 228 = 0$$ $$\pi_1 \equiv 12x + 11y + 57z + 217 = 0$$ **Plano $\pi_2$:** Contiene al punto $P_s(0, 0, 0)$ y a los vectores $\vec{v_s}(1, 1, 4)$ y $\vec{v_t}(13, -9, -1)$. $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ 1 & 1 & 4 \\ 13 & -9 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$x(-1+36) - y(-1-52) + z(-9-13) = 0$$ $$35x + 53y - 22z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} 12x + 11y + 57z + 217 = 0 \\ 35x + 53y - 22z = 0 \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Calcular la mínima distancia entre las rectas $r$ y $s$.** La mínima distancia entre dos rectas que se cruzan viene dada por la fórmula: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{P_r P_s}, \vec{v_r}, \vec{v_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}$$ Calculamos el producto mixto $[\vec{P_r P_s}, \vec{v_r}, \vec{v_s}]$ usando los datos del primer paso, donde $\vec{P_r P_s} = (0, -1, 4)$: $$[\vec{P_r P_s}, \vec{v_r}, \vec{v_s}] = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$0 - (-1)\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + 4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(8 - (-1)) + 4(2 - 3) = 9 - 4 = 5$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

Ya conocemos el módulo del producto vectorial de los vectores directores calculado en el apartado a): $$|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = |(13, -9, -1)| = \sqrt{13^2 + (-9)^2 + (-1)^2} = \sqrt{169 + 81 + 1} = \sqrt{251}$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{5}{\sqrt{251}} \text{ unidades}$$ Si queremos racionalizar: $$d(r, s) = \frac{5\sqrt{251}}{251} \approx 0.315 \text{ u.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{5}{\sqrt{251}} \text{ u.}}$$