Estudio de función racional: monotonía, curvatura, asíntotas e integración

**a) (0’75 puntos) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1}$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 + 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - (2x^3 + 4x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 - 4x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico. Como el denominador $(x^2+1)^2$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $-2x$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $f'(x) \gt 0$, la función crece; si $f'(x) \lt 0$, la función decrece. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 0) \text{ y decreciente en } (0, +\infty)}$$

**b) (0’75 puntos) Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de $f(x)$.** Para hallar los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada derivando $f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$: $$f''(x) = \frac{(-2)(x^2 + 1)^2 - (-2x)[2(x^2 + 1)(2x)]}{(x^2 + 1)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x^2 + 1)$: $$f''(x) = \frac{-2(x^2 + 1) + 8x^2}{(x^2 + 1)^3} = \frac{-2x^2 - 2 + 8x^2}{(x^2 + 1)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(x^2 + 1)^3}$$ Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$6x^2 - 2 = 0 \implies 6x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Estudiamos el cambio de signo de $f''(x)$ en estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\sqrt{3}/3) & -\sqrt{3}/3 & (-\sqrt{3}/3, \sqrt{3}/3) & \sqrt{3}/3 & (\sqrt{3}/3, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \text{Convexa (\cup)} & \text{P.I.} & \text{Cóncava (\cap)} & \text{P.I.} & \text{Convexa (\cup)} \end{array}$$ Calculamos las ordenadas: $$f\left(\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{(\frac{1}{3}) + 2}{(\frac{1}{3}) + 1} = \frac{7/3}{4/3} = \frac{7}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Puntos de inflexión: } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{7}{4}\right) \text{ y } \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{7}{4}\right)}$$

**c) (0’75 puntos) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de $f(x)$.** 1. **Asíntotas Verticales:** El denominador $x^2 + 1$ nunca es cero para valores reales. No hay asíntotas verticales. 2. **Asíntotas Horizontales:** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + 2/x^2}{1 + 1/x^2} = 1$$ Hay una asíntota horizontal en **$y = 1$**. 3. **Asíntotas Oblicuas:** Al haber horizontales en ambos sentidos, no hay oblicuas. 4. **Gráfica:** La función es simétrica respecto al eje $Y$ (par), tiene un máximo en $(0,2)$ y se aproxima a $y=1$ cuando $x \to \infty$. 💡 **Tip:** Para dibujar, usa el máximo $(0,2)$, los P.I. hallados y la asíntota horizontal $y=1$.

**d) (0,75 puntos) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $y = x + 2$, $x = 1$.** Primero, identificamos los límites del recinto: - Eje de abscisas: $y = 0$. - Recta oblicua: $y = x + 2$. Corta al eje $X$ en $x = -2$ y a la función $f(x)$ en $x = 0$ (ya que $f(0)=2$ y $0+2=2$). - Curva: $f(x) = \frac{x^2+2}{x^2+1}$. - Recta vertical: $x = 1$. El recinto se divide en dos partes: 1. De $x = -2$ a $x = 0$: limitado por la recta $y = x+2$ y el eje $X$. 2. De $x = 0$ a $x = 1$: limitado por la curva $f(x)$ y el eje $X$. $$A = \int_{-2}^{0} (x + 2) \, dx + \int_{0}^{1} \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1} \, dx$$ Resolvemos la primera integral: $$\int_{-2}^{0} (x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{0} = (0) - \left( \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right) = -(2 - 4) = 2 \text{ u}^2$$ Resolvemos la segunda integral descomponiendo la fracción: $$\frac{x^2 + 2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 + 1}{x^2 + 1} = 1 + \frac{1}{x^2 + 1}$$ $$\int_{0}^{1} \left( 1 + \frac{1}{x^2 + 1} \right) \, dx = [x + \arctan(x)]_{0}^{1} = (1 + \arctan(1)) - (0 + \arctan(0)) = 1 + \frac{\pi}{4} \text{ u}^2$$ Sumamos ambas áreas: $$A_{total} = 2 + 1 + \frac{\pi}{4} = 3 + \frac{\pi}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 3 + \frac{\pi}{4} \approx 3.785 \text{ u}^2}$$