Plano perpendicular a dos planos que pasa por el origen

Para hallar un plano perpendicular a otros dos, primero identificamos los vectores normales de dichos planos. Los coeficientes de las variables $x$, $y$ y $z$ en la ecuación general de un plano definen su vector normal. Para el plano $\pi_1 \equiv 5x - y - 7z = 1$, su vector normal es: $$\vec{n}_1 = (5, -1, -7)$$ Para el plano $\pi_2 \equiv 2x + 3y + z = 5$, su vector normal es: $$\vec{n}_2 = (2, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otros dos, su vector normal debe ser perpendicular a los vectores normales de esos dos planos simultáneamente.

El vector normal del nuevo plano, que llamaremos $\vec{n}_\pi$, se obtiene mediante el **producto vectorial** de los vectores normales de los planos dados, ya que el producto vectorial genera un vector perpendicular a ambos. Calculamos $\vec{n}_\pi = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ mediante el siguiente determinante: $$\vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -1 & -7 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus o desarrollo por la primera fila: $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \cdot [(-1) \cdot 1 - 3 \cdot (-7)] - \vec{j} \cdot [5 \cdot 1 - 2 \cdot (-7)] + \vec{k} \cdot [5 \cdot 3 - 2 \cdot (-1)]$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \cdot [-1 + 21] - \vec{j} \cdot [5 + 14] + \vec{k} \cdot [15 + 2]$$ $$\vec{n}_\pi = 20\vec{i} - 19\vec{j} + 17\vec{k}$$ Por lo tanto, el vector normal es **$\vec{n}_\pi = (20, -19, 17)$**.

La ecuación general de un plano viene dada por: $$Ax + By + Cz + D = 0$$ Donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n}_\pi = (20, -19, 17)$. Sustituimos las componentes: $$20x - 19y + 17z + D = 0$$ Como el enunciado indica que el plano pasa por el **origen de coordenadas** $O(0, 0, 0)$, este punto debe satisfacer la ecuación: $$20(0) - 19(0) + 17(0) + D = 0 \implies D = 0$$ Sustituyendo el valor de $D$ obtenemos la ecuación final. 💡 **Tip:** Siempre que un plano pase por el origen $(0,0,0)$, el término independiente $D$ de su ecuación general será cero. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{20x - 19y + 17z = 0}$$