Paralelismo de rectas y planos en el espacio

**a) (1 punto) Dados los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(a, 3, -3)$, determinar el valor de $a$ para que la recta $t$ que pasa por los puntos $A$ y $B$, sea paralela a la recta $s$.** Primero, identificamos el vector director de la recta $s$, que denotaremos como $\vec{v}_s$. Al estar en forma continua, los denominadores nos dan directamente sus componentes: $$\vec{v}_s = (1, -3, 2).$$ A continuación, calculamos el vector director de la recta $t$, que llamaremos $\vec{v}_t$. Como la recta pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(a, 3, -3)$, el vector será: $$\vec{v}_t = \vec{AB} = (a - 1, 3 - 0, -3 - (-1)) = (a - 1, 3, -2).$$ 💡 **Tip:** Para que dos rectas sean paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales.

Para que $t \parallel s$, los vectores $\vec{v}_t$ y $\vec{v}_s$ deben ser proporcionales: $$\frac{a - 1}{1} = \frac{3}{-3} = \frac{-2}{2}.$$ Calculamos la razón de proporcionalidad de las componentes conocidas: $$\frac{3}{-3} = -1 \quad \text{y} \quad \frac{-2}{2} = -1.$$ Igualamos la primera componente a este valor: $$a - 1 = -1 \implies a = 0.$$ ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = 0}$$

**b) (1 punto) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.** Un plano $\pi$ queda determinado por un punto $P$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no paralelos. En este caso: - Como $\pi$ contiene a $r$, tomaremos un punto de $r$ ($P_r$) y su vector director ($\vec{v}_r$). - Como $\pi$ es paralelo a $s$, tomaremos el vector director de $s$ ($\vec{v}_s$). Calculamos el vector director de $r$ mediante el producto vectorial de los normales de los planos que la definen: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 2) - \vec{j}(0 - (-1)) + \vec{k}(-4 - 1) = -2\vec{i} - \vec{j} - 5\vec{k} = (-2, -1, -5).$$ Hallamos un punto $P_r \in r$ asignando un valor a una variable. Si $y = 0$: $$x - 2(0) = -1 \implies x = -1.$$ $$2(-1) + 0 - z = -2 \implies -2 - z = -2 \implies z = 0.$$ Obtenemos $P_r(-1, 0, 0)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial se calcula desarrollando por la primera fila (Sarrus).

El plano $\pi$ pasa por $P_r(-1, 0, 0)$ y tiene como vectores directores $\vec{v}_r = (-2, -1, -5)$ y $\vec{v}_s = (1, -3, 2)$. La ecuación general se obtiene del determinante: $$\begin{vmatrix} x + 1 & y & z \\ -2 & -1 & -5 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 0.$$ Resolvemos por Sarrus: $$(x + 1)(-2 - 15) - y(-4 - (-5)) + z(6 - (-1)) = 0$$ $$-17(x + 1) - y(1) + 7(z) = 0$$ $$-17x - 17 - y + 7z = 0$$ $$17x + y - 7z + 17 = 0.$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{17x + y - 7z + 17 = 0}$$