Estudio de asíntotas, curvatura y representación gráfica

**a) (1’5 puntos) Estudiar y obtener las asíntotas.** Primero, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto los valores que anulan el denominador: $$x + 5 = 0 \implies x = -5$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-5\}$. Para comprobar si existe una **asíntota vertical** en $x = -5$, calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to -5^-} \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5} = \frac{3(-5)^2 + 5(-5) - 20}{0^-} = \frac{30}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to -5^+} \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5} = \frac{3(-5)^2 + 5(-5) - 20}{0^+} = \frac{30}{0^+} = +\infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto es infinito (aunque sea solo por un lado), existe una asíntota vertical en ese valor. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -5}$$

Para las **asíntotas horizontales**, calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5} = \pm\infty$$ Al ser el grado del numerador (2) mayor que el del denominador (1), **no existe asíntota horizontal**. Buscamos la **asíntota oblicua** $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 20}{x^2 + 5x} = 3$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5} - 3x \right)$$ Operamos para calcular $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 20 - 3x(x + 5)}{x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 20 - 3x^2 - 15x}{x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{-10x - 20}{x + 5} = -10$$ 💡 **Tip:** Existe asíntota oblicua cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = 3x - 10}$$

**b) (1 punto) Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad.** Para estudiar la curvatura necesitamos la segunda derivada $f''(x)$. Primero calculamos $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(6x + 5)(x + 5) - (3x^2 + 5x - 20)(1)}{(x + 5)^2} = \frac{6x^2 + 30x + 5x + 25 - 3x^2 - 5x + 20}{(x + 5)^2}$$ $$f'(x) = \frac{3x^2 + 30x + 45}{(x + 5)^2}$$ Ahora calculamos $f''(x)$: $$f''(x) = \frac{(6x + 30)(x + 5)^2 - (3x^2 + 30x + 45) \cdot 2(x + 5)}{(x + 5)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x + 5)$: $$f''(x) = \frac{(6x + 30)(x + 5) - 2(3x^2 + 30x + 45)}{(x + 5)^3} = \frac{6x^2 + 30x + 30x + 150 - 6x^2 - 60x - 90}{(x + 5)^3}$$ $$f''(x) = \frac{60}{(x + 5)^3}$$ 💡 **Tip:** La curvatura depende del signo de la segunda derivada. Si $f''(x) \gt 0$ la función es convexa (∪), y si $f''(x) \lt 0$ es cóncava (∩).

Analizamos el signo de $f''(x) = \frac{60}{(x + 5)^3}$. El numerador siempre es positivo ($60 \gt 0$), por lo que el signo de la derivada depende exclusivamente del denominador $(x + 5)^3$. El único punto crítico para la curvatura es el valor donde no existe la función, $x = -5$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -5) & -5 & (-5, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava (∩)} & \nexists & \text{Convexa (∪)} \end{array}$$ - En $(-\infty, -5)$: $x + 5 \lt 0 \implies (x + 5)^3 \lt 0 \implies f''(x) \lt 0$. - En $(-5, +\infty)$: $x + 5 \gt 0 \implies (x + 5)^3 \gt 0 \implies f''(x) \gt 0$. ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{Cóncava en } (-\infty, -5) \text{ y Convexa en } (-5, +\infty)}$$

**c) (0’5 puntos) Representar gráficamente la función.** Utilizamos la información obtenida: 1. Asíntota vertical en $x = -5$. 2. Asíntota oblicua $y = 3x - 10$. 3. La función es cóncava a la izquierda de la asíntota vertical y convexa a la derecha. 4. Puntos auxiliares: $f(0) = -20/5 = -4$. Las raíces de $3x^2 + 5x - 20 = 0$ son $x \approx 1.91$ y $x \approx -3.58$. El gráfico muestra cómo la curva se aproxima a sus asíntotas respetando la curvatura calculada.