Sistema de ecuaciones con parámetros

**a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro $k$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & k \\ 1 & k & 1 & k^2 \\ k & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot k \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot k) + (k \cdot 1 \cdot 1) - (k \cdot k \cdot k + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = (k + k + k) - (k^3 + 1 + 1) = 3k - k^3 - 2$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ permite conocer los valores críticos del parámetro donde el sistema cambia de comportamiento.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $k$ que hacen que el rango de $A$ sea menor que $3$: $$-k^3 + 3k - 2 = 0$$ Probamos con divisores del término independiente ($1, -1, 2, -2$). Observamos que $k = 1$ es raíz: $$-(1)^3 + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$$ Aplicando la regla de Ruffini para factorizar $-k^3 + 0k^2 + 3k - 2$: $$\begin{array}{r|rrrr} & -1 & 0 & 3 & -2 \\ 1 & & -1 & -1 & 2 \\ \hline & -1 & -1 & 2 & 0 \end{array}$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante $-k^2 - k + 2 = 0$: $$k = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)(2)}}{2(-1)} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{-2} = \frac{1 \pm 3}{-2}$$ Las soluciones son $k = -2$ y $k = 1$. Por tanto, las raíces son: $$\boxed{k = 1 \text{ (doble)}, \quad k = -2}$$

Analizamos los casos posibles para el parámetro $k$: **Caso 1: $k \neq 1$ y $k \neq -2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado** (tiene una solución única). **Caso 2: $k = 1$** Sustituimos $k=1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ Todas las filas son idénticas. Claramente, $\text{rg}(A) = 1$ y $\text{rg}(A^*) = 1$. Como: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 1 \lt 3 \text{ (incógnitas)}$$ El sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). **Caso 3: $k = -2$** Sustituimos $k=-2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ Como $|A|=0$, el rango de $A$ es como máximo $2$. Tomamos un menor $2 \times 2$ de $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2 - 8 - 2) - (8 + 4 + 1) = -12 - 13 = -25 \neq 0$$ Como existe un menor de orden $3$ distinto de cero en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible** (no tiene solución). 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rg}(A) < \text{rg}(A^*)$, las ecuaciones son contradictorias.

**b) (1 punto) Resolverlo para $k = 0$.** Como $k = 0$ no es una de nuestras raíces críticas, sabemos por el apartado anterior que el sistema es **Compatible Determinado**. El sistema para $k=0$ es: $$\begin{cases} x + y = 0 \quad \text{(1)} \\ x + z = 0 \quad \text{(2)} \\ y + z = 1 \quad \text{(3)} \end{cases}$$ Resolvemos por sustitución: De la ecuación (1) despejamos $x$: $$x = -y$$ Sustituimos en la ecuación (2): $$-y + z = 0 \implies z = y$$ Sustituimos ahora en la ecuación (3): $$y + y = 1 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$$ Calculamos el resto de incógnitas: $$x = -y = -\frac{1}{2}$$ $$z = y = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -\frac{1}{2}, \quad y = \frac{1}{2}, \quad z = \frac{1}{2}}$$