Integrales definidas de funciones polinómicas

**a) (0’5 puntos) $\int_{14}^{16} (x - 15)^8 dx$.** Observamos que la integral es de tipo inmediato. Se trata de una función polinómica de la forma $f(x)^n \cdot f'(x)$. En este caso, $f(x) = x - 15$ y su derivada es $f'(x) = 1$, que ya está implícita en el integrando. La regla de integración que aplicamos es: $$\int (x+a)^n dx = \frac{(x+a)^{n+1}}{n+1} + C$$ Calculamos la primitiva: $$\int (x - 15)^8 dx = \frac{(x - 15)^9}{9}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $14$ y $16$: $$\left[ \frac{(x - 15)^9}{9} \right]_{14}^{16} = \frac{(16 - 15)^9}{9} - \frac{(14 - 15)^9}{9}$$ Operamos los valores: $$\frac{1^9}{9} - \frac{(-1)^9}{9} = \frac{1}{9} - \left( -\frac{1}{9} \right) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una potencia impar de un número negativo conserva el signo negativo: $(-1)^9 = -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{2}{9}}$$

**b) (1’5 puntos) $\int_{9}^{11} (x - 10)^{19}(x - 9) dx$.** Para resolver esta integral de forma eficiente sin recurrir a un cambio de variable complejo, podemos descomponer el factor $(x - 9)$ para que aparezca el término $(x - 10)$. Notamos que: $$(x - 9) = (x - 10) + 1$$ Sustituimos esto en el integrando y aplicamos la propiedad distributiva: $$(x - 10)^{19} \cdot [(x - 10) + 1] = (x - 10)^{19} \cdot (x - 10) + (x - 10)^{19} \cdot 1$$ $$(x - 10)^{20} + (x - 10)^{19}$$ La integral se convierte en: $$\int_{9}^{11} \left( (x - 10)^{20} + (x - 10)^{19} \right) dx$$ 💡 **Tip:** Este truco algebraico es muy útil para evitar cambios de variable cuando tenemos potencias altas de binomios lineales.

Integramos cada término por separado utilizando la regla de la potencia: $$\int (x - 10)^{20} dx + \int (x - 10)^{19} dx = \frac{(x - 10)^{21}}{21} + \frac{(x - 10)^{20}}{20}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $9$ y $11$: $$\left[ \frac{(x - 10)^{21}}{21} + \frac{(x - 10)^{20}}{20} \right]_{9}^{11}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 11$): $$F(11) = \frac{(11 - 10)^{21}}{21} + \frac{(11 - 10)^{20}}{20} = \frac{1^{21}}{21} + \frac{1^{20}}{20} = \frac{1}{21} + \frac{1}{20}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 9$): $$F(9) = \frac{(9 - 10)^{21}}{21} + \frac{(9 - 10)^{20}}{20} = \frac{(-1)^{21}}{21} + \frac{(-1)^{20}}{20} = -\frac{1}{21} + \frac{1}{20}$$ Finalmente, restamos los valores: $$F(11) - F(9) = \left( \frac{1}{21} + \frac{1}{20} \right) - \left( -\frac{1}{21} + \frac{1}{20} \right)$$ $$\frac{1}{21} + \frac{1}{20} + \frac{1}{21} - \frac{1}{20} = \frac{1}{21} + \frac{1}{21} = \frac{2}{21}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{2}{21}}$$