Límite con potencia y cálculo de un parámetro

Para resolver el límite, primero analizamos el comportamiento de la base y del exponente cuando $x \to \infty$. 1. **Base:** $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3}{x^2 + 3} = 1$ (al ser un cociente de polinomios del mismo grado, el límite es el cociente de sus coeficientes principales, $\frac{1}{1}$). 2. **Exponente:** $\lim_{x \to \infty} ax^2 = \pm \infty$ (dependiendo del signo de $a$). Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Las indeterminaciones de tipo $1^{\infty}$ se resuelven habitualmente aplicando la fórmula del número $e$: si $\lim_{x \to a} f(x) = 1$ y $\lim_{x \to a} g(x) = \infty$, entonces $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot [f(x) - 1]}$.

Aplicamos la propiedad enunciada anteriormente para transformar el límite: $$L = e^{\lim_{x \to \infty} ax^2 \left( \frac{x^2 - 3}{x^2 + 3} - 1 \right)}$$ Operamos dentro del paréntesis para simplificar la expresión: $$\frac{x^2 - 3}{x^2 + 3} - 1 = \frac{x^2 - 3 - (x^2 + 3)}{x^2 + 3} = \frac{x^2 - 3 - x^2 - 3}{x^2 + 3} = \frac{-6}{x^2 + 3}$$ Sustituimos de nuevo en el límite del exponente: $$L = e^{\lim_{x \to \infty} ax^2 \left( \frac{-6}{x^2 + 3} \right)} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{-6ax^2}{x^2 + 3}}$$

Calculamos el límite de la función racional que ha quedado en el exponente: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-6ax^2}{x^2 + 3}$$ Como el grado del numerador ($2$) es igual al grado del denominador ($2$), el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-6ax^2}{1x^2 + 3} = \frac{-6a}{1} = -6a$$ Por lo tanto, el valor del límite original es: $$L = e^{-6a}$$

El enunciado establece que el valor del límite debe ser igual a $4$. Por tanto, igualamos nuestro resultado a $4$: $$e^{-6a} = 4$$ Para despejar $a$, aplicamos logaritmos naturales (neperianos) en ambos miembros: $$\ln(e^{-6a}) = \ln(4)$$ $$-6a = \ln(4)$$$ Despejamos $a$: $$a = \frac{\ln(4)}{-6} = -\frac{\ln(2^2)}{6} = -\frac{2\ln(2)}{6} = -\frac{\ln(2)}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por las propiedades de los logaritmos, $\ln(x^n) = n \ln(x)$. En este caso, hemos usado $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$ para simplificar la fracción. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -\frac{\ln(2)}{3}}$$