Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) (1 punto) Determinar, si existen, el valor o valores de $a$ para los que el sistema es compatible determinado (independientemente del valor de $B$).** Para que un sistema sea Compatible Determinado (SCD), según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser igual al rango de la matriz ampliada $A|B$ e igual al número de incógnitas ($n=3$ en este caso). Calculamos el determinante de $A$ para ver si puede ser distinto de cero: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ a & 5 & a \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus o desarrollamos por la segunda fila (que tiene ceros): $$|A| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a & a \end{vmatrix} = 2(a - a) = 2 \cdot 0 = 0$$ 💡 **Tip:** Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales (o proporcionales), su determinante es siempre cero. Aquí, la primera y la tercera columna son iguales si ignoramos el elemento central de la tercera fila, pero al calcular el determinante vemos que el resultado es nulo para cualquier valor de $a$. Como $|A| = 0$ para cualquier valor de $a$, el rango de $A$ siempre será menor que 3 ($rank(A) \lt 3$). Por tanto, el sistema nunca podrá ser compatible determinado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } a \text{ para el cual el sistema sea SCD}}$$

**b) (0'5 puntos) Si $a = 4$, y $B = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ b \end{pmatrix}$, determinar, si existen, el valor o valores de $b$ para los que el sistema es incompatible.** Si $a = 4$, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 4 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que $|A| = 0$. Buscamos el rango de $A$ encontrando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies rank(A) = 2$$ Para que el sistema sea **incompatible (SI)**, el rango de la matriz ampliada $A|B$ debe ser mayor que el rango de $A$, es decir, $rank(A|B) = 3$. La matriz ampliada es: $$(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 4 & b \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de una submatriz $3 \times 3$ que incluya la columna $B$ (por ejemplo, usando las columnas 1, 2 y 4): $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & b \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & b \end{vmatrix} = 2b - (-5) = 2b + 5$$ El sistema es incompatible si este determinante es distinto de cero: $$2b + 5 \neq 0 \implies b \neq -\frac{5}{2}$$ 💡 **Tip:** El sistema es incompatible cuando $rank(A) \lt rank(A|B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b \neq -2.5}$$

**c) (1'5 puntos) Si $a = 4$, y $B = \begin{pmatrix} 0 \\ c \\ 10 \end{pmatrix}$, determinar, si existen, el valor o valores de $c$ para los que el sistema es compatible indeterminado. Resolver el sistema.** Para que el sistema sea **Compatible Indeterminado (SCI)**, debe cumplirse $rank(A) = rank(A|B) \lt 3$. Como hemos visto que $rank(A) = 2$ para $a = 4$, necesitamos que $rank(A|B) = 2$. La matriz ampliada es: $$(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & c \\ 4 & 5 & 4 & 10 \end{array}\right)$$ Para que el rango sea 2, todos los menores de orden 3 deben ser cero. Analizamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & c \\ 4 & 5 & 10 \end{vmatrix} = 1 \cdot (20 - 5c) = 20 - 5c$$ Igualamos a cero para que el rango no sea 3: $$20 - 5c = 0 \implies 5c = 20 \implies c = 4$$ Para $c = 4$, el sistema es SCI pues $rank(A) = rank(A|B) = 2$. ✅ **Resultado (valor de c):** $$\boxed{c = 4}$$

Resolvemos el sistema para $a = 4$ y $c = 4$: $$\begin{cases} x + z = 0 \\ 2y = 4 \\ 4x + 5y + 4z = 10 \end{cases}$$ De la segunda ecuación obtenemos directamente $y$: $$2y = 4 \implies y = 2$$ De la primera ecuación, despejamos una incógnita en función de otra: $$x + z = 0 \implies z = -x$$ Comprobamos en la tercera ecuación: $$4x + 5(2) + 4(-x) = 10 \implies 4x + 10 - 4x = 10 \implies 10 = 10$$ La ecuación es redundante (como esperábamos en un SCI). Parametrizamos la solución haciendo $x = \lambda$: $$x = \lambda$$ $$y = 2$$ $$z = -\lambda$$ 💡 **Tip:** Al resolver un SCI con $rank=2$ y $3$ incógnitas, una de las incógnitas debe actuar como parámetro libre (normalmente $\lambda$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 2 \\ z = -\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$