Recta que pasa por un punto y corta a otras dos

**Determinar la ecuación de la recta $t$ que pasa por el punto $P(0, 1, -2)$ y corta a las rectas $r$ y $s$.** Para hallar la recta $t$, utilizaremos el método de la intersección de dos planos. La recta buscada será la intersección de: 1. Un plano $\pi_1$ que contiene al punto $P$ y a la recta $r$. 2. Un plano $\pi_2$ que contiene al punto $P$ y a la recta $s$. Como $t$ estará en $\pi_1$ (que contiene a $r$), $t$ y $r$ serán coplanarias y se cortarán (a menos que sean paralelas). Lo mismo ocurrirá con $s$ y $\pi_2$. Empezamos extrayendo un punto $A_r$ y el vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$ a partir de sus ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 \\ z = 3 - \lambda \end{cases} \implies \begin{cases} A_r(1, 2, 3) \\ \vec{v}_r(1, 0, -1) \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas, los coeficientes de $\lambda$ forman el vector director y los términos independientes el punto.

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos. Necesitamos un punto $A_s$ y su vector director $\vec{v}_s$. Para el vector director $\vec{v}_s$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen $s$: $$\vec{n}_1 = (1, 2, -1), \quad \vec{n}_2 = (1, 1, 0)$$ $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_s = \vec{i}(2\cdot 0 - (-1)\cdot 1) - \vec{j}(1\cdot 0 - (-1)\cdot 1) + \vec{k}(1\cdot 1 - 2\cdot 1)$$ $$\vec{v}_s = 1\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k} = (1, -1, -1)$$ Para el punto $A_s$, fijamos una coordenada, por ejemplo $y = 0$, en el sistema de $s$: $$\begin{cases} x + 2(0) - z = -1 \implies x - z = -1 \\ x + 0 = -2 \implies x = -2 \end{cases}$$ Sustituyendo $x = -2$: $-2 - z = -1 \implies z = -1$. Por tanto, **$A_s(-2, 0, -1)$**. $$\boxed{A_s(-2, 0, -1), \quad \vec{v}_s(1, -1, -1)}$$

El plano $\pi_1$ está definido por el punto $P(0, 1, -2)$ y la recta $r$. Sus vectores directores serán $\vec{v}_r$ y el vector que une $P$ con el punto $A_r$ de la recta: $$\vec{PA_r} = A_r - P = (1 - 0, 2 - 1, 3 - (-2)) = (1, 1, 5)$$ La ecuación del plano $\pi_1$ se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 1 & z + 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos: $$(x)(0 + 1) - (y - 1)(5 + 1) + (z + 2)(1 - 0) = 0$$ $$x - 6(y - 1) + (z + 2) = 0$$ $$x - 6y + 6 + z + 2 = 0 \implies x - 6y + z + 8 = 0$$ $$\boxed{\pi_1 \equiv x - 6y + z + 8 = 0}$$

El plano $\pi_2$ está definido por el punto $P(0, 1, -2)$ y la recta $s$. Sus vectores directores serán $\vec{v}_s$ y el vector $\vec{PA_s}$: $$\vec{PA_s} = A_s - P = (-2 - 0, 0 - 1, -1 - (-2)) = (-2, -1, 1)$$ La ecuación del plano $\pi_2$ se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 1 & z + 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos: $$(x)(-1 - 1) - (y - 1)(1 - 2) + (z + 2)(-1 - 2) = 0$$ $$-2x + (y - 1) - 3(z + 2) = 0$$ $$-2x + y - 1 - 3z - 6 = 0 \implies -2x + y - 3z - 7 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $2x - y + 3z + 7 = 0$. $$\boxed{\pi_2 \equiv 2x - y + 3z + 7 = 0}$$

La recta $t$ es la intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$. Su ecuación implícita es: $$t \equiv \begin{cases} x - 6y + z + 8 = 0 \\ 2x - y + 3z + 7 = 0 \end{cases}$$ Podemos verificar que $P(0, 1, -2)$ pertenece a la recta: - Para $\pi_1$: $0 - 6(1) + (-2) + 8 = -6 - 2 + 8 = 0$ (Cumple). - Para $\pi_2$: $2(0) - (1) + 3(-2) + 7 = -1 - 6 + 7 = 0$ (Cumple). 💡 **Tip:** La recta calculada mediante este método siempre cortará a $r$ y $s$ a menos que el vector director de la recta resultante sea paralelo a los de $r$ o $s$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x - 6y + z + 8 = 0 \\ 2x - y + 3z + 7 = 0 \end{cases}}$$