Invertibilidad y cálculo de la matriz inversa con parámetros

Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Por lo tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $a$. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{vmatrix}$$ Podemos calcularlo desarrollando por los elementos de la segunda fila, ya que contiene dos ceros, lo que facilita enormemente el cálculo: $$|A| = 0 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = 1 \cdot (1 \cdot a - 0 \cdot 1) = a$$ 💡 **Tip:** Si prefieres usar la regla de Sarrus: $|A| = (1 \cdot 1 \cdot a + a \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \cdot 1) - (0 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 1 + a \cdot 0 \cdot a) = a - 0 = a.$ $$\boxed{|A| = a}$$

Una matriz $A$ posee inversa si y solo si su determinante es no nulo ($|A| \neq 0$). Basándonos en el resultado anterior: - Si **$a = 0$**, el determinante es $|A| = 0$. Por lo tanto, la matriz $A$ **no tiene inversa**. - Si **$a \neq 0$**, el determinante es $|A| \neq 0$. Por lo tanto, la matriz $A$ **sí tiene inversa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ tiene inversa para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Para calcular la matriz inversa $A^{-1}$ cuando $a \neq 0$, utilizaremos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$$ Primero, calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = -(a^2 - 1) = 1 - a^2$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = a$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 1 - a^2 & a & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Ahora trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} a & 1 - a^2 & -1 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos cada término por el determinante $|A| = a$: $$A^{-1} = \frac{1}{a} \begin{pmatrix} a & 1 - a^2 & -1 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Operando la división: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1-a^2}{a} & -\frac{1}{a} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{a} & \frac{1}{a} \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar que $A \cdot A^{-1} = I$ para verificar que el cálculo es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1-a^2}{a} & -\frac{1}{a} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{a} & \frac{1}{a} \end{pmatrix}, \text{ para } a \neq 0}$$