Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) (1'5 puntos) Discutir el sistema según los valores de $m$.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 2 & m & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ 5 & m+1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & m & 3 & 3 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 5 & m+1 & 1 & 9 \end{array}\right)$$ El objetivo es comparar los rangos de $A$ y $A^*$ utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus y lo igualamos a cero para hallar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & m & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ 5 & m+1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot (m+1) \cdot 3 + 5 \cdot m \cdot (-2)] - [5 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot m \cdot 1 + 2 \cdot (m+1) \cdot (-2)]$$ $$|A| = [2 + 3m + 3 - 10m] - [15 + m - 4m - 4]$$ $$|A| = (5 - 7m) - (11 - 3m) = 5 - 7m - 11 + 3m = -4m - 6$$ Igualamos a cero: $$-4m - 6 = 0 \implies 4m = -6 \implies m = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$$ Los valores de $m$ a considerar son $m = -3/2$ y $m \neq -3/2$.

Si $m \neq -\frac{3}{2}$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es: $$rg(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es una matriz $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Dado que $A$ está contenida en $A^*$, entonces: $$rg(A^*) = 3$$ Al coincidir los rangos con el número de incógnitas ($n=3$): $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = n$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq -\frac{3}{2}, \text{ el sistema es Compatible Determinado.}}$$

Si $m = -\frac{3}{2}$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) \lt 3$. Comprobamos si existe algún menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -1/2 \end{vmatrix} = -\frac{1}{2} - 5 = -\frac{11}{2} \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ analizando el determinante formado por las columnas 1, 3 y 4 (la columna de términos independientes): $$|A^*_c| = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \\ 5 & 1 & 9 \end{vmatrix} = [2(-2)(9) + 1(1)(3) + 5(3)(0)] - [5(-2)(3) + 1(3)(9) + 2(0)(1)]$$ $$|A^*_c| = [-36 + 3 + 0] - [-30 + 27 + 0] = -33 - (-3) = -30 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, entonces $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq -3/2: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } m = -3/2: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para el caso $m = 0$.** Como $m=0 \neq -3/2$, el sistema es Compatible Determinado. El sistema queda: $$\begin{cases} 2x + 3z = 3 \\ x + y - 2z = 0 \\ 5x + y + z = 9 \end{cases}$$ Sabemos que $|A|_{m=0} = -4(0) - 6 = -6$. Resolvemos por la **Regla de Cramer**: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 9 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{-6} = \frac{(3 + 0 + 0) - (27 - 6 + 0)}{-6} = \frac{3 - 21}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 5 & 9 & 1 \end{vmatrix}}{-6} = \frac{(0 - 30 + 27) - (0 - 36 + 3)}{-6} = \frac{-3 - (-33)}{-6} = \frac{30}{-6} = -5$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 5 & 1 & 9 \end{vmatrix}}{-6} = \frac{(18 + 0 + 3) - (15 + 0 + 0)}{-6} = \frac{21 - 15}{-6} = \frac{6}{-6} = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la Regla de Cramer, cada incógnita se halla sustituyendo la columna correspondiente en $|A|$ por la columna de términos independientes y dividiendo por el determinante de la matriz principal. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{x = 3, y = -5, z = -1}$$