Incidencia, distancias y ángulos entre recta y plano

**a) (1 punto) Calcular los valores de $a$ para los que la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$.** Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$, deben cumplirse dos condiciones: 1. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Es decir, $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$. 2. Cualquier punto de la recta, por ejemplo $P_r$, debe pertenecer al plano $\pi$. Extraemos los elementos de la recta $r \equiv \frac{x - (-1)}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - (-3)}{5}$: - Punto de la recta: $P_r(-1, 1, -3)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 2, 5)$ Extraemos el vector normal del plano $\pi \equiv 2x + ay + 4z + 25 = 0$: - Vector normal: $\vec{n}_\pi = (2, a, 4)$

Aplicamos la condición de perpendicularidad entre vectores (producto escalar nulo): $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 \implies (1, 2, 5) \cdot (2, a, 4) = 0$$ $$1 \cdot 2 + 2 \cdot a + 5 \cdot 4 = 0$$ $$2 + 2a + 20 = 0 \implies 2a + 22 = 0 \implies 2a = -22$$ $$\boxed{a = -11}$$ Ahora verificamos que con este valor de $a$, el punto $P_r(-1, 1, -3)$ pertenece al plano: $$2(-1) + (-11)(1) + 4(-3) + 25 = -2 - 11 - 12 + 25 = -25 + 25 = 0$$ Como el vector es perpendicular y el punto pertenece al plano, la recta está contenida para ese valor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -11}$$

**b) (1 punto) Para el valor $a = -2$, hallar el punto (o los puntos) que pertenecen a la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $P(-3/2, 0, -11/2)$, y que dista (o distan) $\sqrt{6}$ unidades de $\pi$.** Si $a = -2$, el plano es $\pi \equiv 2x - 2y + 4z + 25 = 0$. Su vector normal es $\vec{n}_\pi = (2, -2, 4)$. Buscamos una recta $s$ perpendicular a $\pi$ que pase por $P(-3/2, 0, -11/2)$. El vector director de esta recta será el normal del plano: $$\vec{v}_s = \vec{n}_\pi = (2, -2, 4)$$ Las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ son: $$s \equiv \begin{cases} x = -\frac{3}{2} + 2\lambda \\ y = -2\lambda \\ z = -\frac{11}{2} + 4\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Un punto genérico $Q$ de esta recta tiene la forma $Q(-\frac{3}{2} + 2\lambda, -2\lambda, -\frac{11}{2} + 4\lambda)$.

Queremos que la distancia de un punto $Q \in s$ al plano $\pi$ sea $\sqrt{6}$. La fórmula de la distancia de un punto $Q(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es: $$d(Q, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos el punto genérico $Q$ y los coeficientes del plano: $$\sqrt{6} = \frac{|2(-\frac{3}{2} + 2\lambda) - 2(-2\lambda) + 4(-\frac{11}{2} + 4\lambda) + 25|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2}}$$ Simplificamos el denominador: $\sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. Simplificamos el numerador: $$| -3 + 4\lambda + 4\lambda - 22 + 16\lambda + 25 | = | 24\lambda |$$ La ecuación queda: $$\sqrt{6} = \frac{|24\lambda|}{2\sqrt{6}} \implies 2 \cdot (\sqrt{6})^2 = |24\lambda| \implies 12 = |24\lambda|$$ $$|2\lambda| = 1 \implies \lambda = \pm \frac{1}{2}$$

Sustituimos los valores de $\lambda$ en las paramétricas de $s$: 1. Para $\lambda = \frac{1}{2}$: $$x = -\frac{3}{2} + 2(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$$ $$y = -2(\frac{1}{2}) = -1$$ $$z = -\frac{11}{2} + 4(\frac{1}{2}) = -\frac{11}{2} + 2 = -\frac{7}{2}$$ **$Q_1(-1/2, -1, -7/2)$** 2. Para $\lambda = -\frac{1}{2}$: $$x = -\frac{3}{2} + 2(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$$ $$y = -2(-\frac{1}{2}) = 1$$ $$z = -\frac{11}{2} + 4(-\frac{1}{2}) = -\frac{11}{2} - 2 = -\frac{15}{2}$$ **$Q_2(-5/2, 1, -15/2)$** ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q_1\left(-\frac{1}{2}, -1, -\frac{7}{2}\right) \text{ y } Q_2\left(-\frac{5}{2}, 1, -\frac{15}{2}\right)}$$

**c) (1 punto) Para $a = -2$, halla el seno del ángulo que forman $r$ y $\pi$.** El seno del ángulo $\alpha$ que forman una recta con vector director $\vec{v}_r$ y un plano con vector normal $\vec{n}_\pi$ viene dado por: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Tenemos: - $\vec{v}_r = (1, 2, 5)$ - $\vec{n}_\pi = (2, -2, 4)$ Calculamos el producto escalar: $$|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi| = |1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 5 \cdot 4| = |2 - 4 + 20| = 18$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$$ $$|\vec{n}_\pi| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\sin \alpha = \frac{18}{\sqrt{30} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{180}} = \frac{9}{\sqrt{36 \cdot 5}} = \frac{9}{6\sqrt{5}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$$ Racionalizando: $$\sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{10}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{10} \approx 0.6708}$$