Área entre funciones y volumen de revolución

**a) (1 punto) Dibujar las gráficas de las dos funciones identificando el recinto acotado por ellas.** Para representar las gráficas y encontrar el recinto acotado, primero determinamos los puntos donde se cortan igualando ambas funciones: $$9 - x^2 = 2x + 1$$ Reordenamos la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ Resolvemos usando la fórmula general: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{-8}{2} = -4$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en $y = 2x + 1$: - Para $x = 2 \implies y = 2(2) + 1 = 5$. Punto $(2, 5)$. - Para $x = -4 \implies y = 2(-4) + 1 = -7$. Punto $(-4, -7)$. 💡 **Tip:** La función $y = 9 - x^2$ es una parábola cóncava (abierta hacia abajo) con vértice en $(0, 9)$. La función $y = 2x + 1$ es una recta con pendiente positiva.

A continuación se muestra la representación de la parábola y la recta. El recinto acotado es la región comprendida entre ambas desde $x = -4$ hasta $x = 2$. En este intervalo, la parábola $f(x) = 9 - x^2$ se encuentra por encima de la recta $g(x) = 2x + 1$.

**b) (1 punto) Calcular el área de dicho recinto acotado.** El área del recinto se calcula mediante la integral definida de la función "techo" menos la función "suelo" entre los puntos de corte hallados anteriormente: $$A = \int_{-4}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-4}^{2} [ (9 - x^2) - (2x + 1) ] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{-4}^{2} (8 - 2x - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre resta la función que queda por arriba menos la que queda por abajo para que el área resulte positiva.

Calculamos la primitiva y aplicamos la regla de Barrow: $$A = \left[ 8x - \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-4}^{2} = \left[ 8x - x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-4}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 2$): $$F(2) = 8(2) - (2)^2 - \frac{2^3}{3} = 16 - 4 - \frac{8}{3} = 12 - \frac{8}{3} = \frac{36 - 8}{3} = \frac{28}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = -4$): $$F(-4) = 8(-4) - (-4)^2 - \frac{(-4)^3}{3} = -32 - 16 - \left(-\frac{64}{3}\right) = -48 + \frac{64}{3} = \frac{-144 + 64}{3} = -\frac{80}{3}$$ Restamos los resultados: $$A = F(2) - F(-4) = \frac{28}{3} - \left( -\frac{80}{3} \right) = \frac{28 + 80}{3} = \frac{108}{3} = 36$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = 36 \text{ u}^2}$$

**c) (1 punto) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el recinto acotado por la gráfica de $y = 9 - x^2$ y el eje OX.** Primero, buscamos los puntos de corte de $y = 9 - x^2$ con el eje OX ($y = 0$): $$9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$ El volumen de un sólido generado al girar una función $f(x)$ alrededor del eje OX entre $x=a$ y $x=b$ viene dado por: $$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$ En nuestro caso: $$V = \pi \int_{-3}^{3} (9 - x^2)^2 \, dx$$ 💡 **Tip:** Debido a la simetría de la función (es una función par), podemos calcular el doble de la integral de $0$ a $3$: $V = 2\pi \int_{0}^{3} (9 - x^2)^2 \, dx$.

Desarrollamos el cuadrado del binomio: $$(9 - x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4$$ Sustituimos en la integral: $$V = \pi \int_{-3}^{3} (81 - 18x^2 + x^4) \, dx = \pi \left[ 81x - \frac{18x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{-3}^{3} = \pi \left[ 81x - 6x^3 + \frac{x^5}{5} \right]_{-3}^{3}$$ Evaluamos en $x = 3$: $$F(3) = 81(3) - 6(3^3) + \frac{3^5}{5} = 243 - 162 + \frac{243}{5} = 81 + 48.6 = 129.6$$ Evaluamos en $x = -3$: $$F(-3) = 81(-3) - 6(-3)^3 + \frac{(-3)^5}{5} = -243 + 162 - \frac{243}{5} = -81 - 48.6 = -129.6$$ Calculamos el volumen final: $$V = \pi [F(3) - F(-3)] = \pi [129.6 - (-129.6)] = 259.2 \pi$$ Expresado en forma de fracción: $$259.2 = \frac{2592}{10} = \frac{1296}{5}$$ ✅ **Resultado del volumen:** $$\boxed{V = \frac{1296}{5}\pi \text{ u}^3}$$