Estudio de dominio, asíntotas y monotonía de una función logarítmica

**a) (1 punto) Determinar el dominio de definición de $f(x)$ y las asíntotas verticales de su gráfica.** La función logaritmo neperiano, $f(x) = \ln(g(x))$, solo está definida para valores en los que el argumento es estrictamente positivo ($g(x) \gt 0$). En nuestro caso: $$x^2 + 4x - 5 \gt 0$$ Primero, hallamos las raíces de la ecuación de segundo grado $x^2 + 4x - 5 = 0$ para conocer los puntos de corte: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ y $x_2 = \frac{-10}{2} = -5$. La parábola $y = x^2 + 4x - 5$ tiene las ramas hacia arriba (coeficiente de $x^2$ positivo), por lo que será positiva fuera del intervalo de sus raíces: - Si $x \in (-\infty, -5)$, entonces $x^2 + 4x - 5 \gt 0$. - Si $x \in (-5, 1)$, entonces $x^2 + 4x - 5 \lt 0$ (aquí no existe la función). - Si $x \in (1, +\infty)$, entonces $x^2 + 4x - 5 \gt 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que el logaritmo de cero o de un número negativo no existe en los números reales. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los extremos abiertos del dominio donde la función no está definida pero se aproxima a un valor infinito. Analizamos los límites laterales en $x = -5$ y $x = 1$: 1. **En $x = -5$ por la izquierda:** $$\lim_{x \to -5^-} \ln(x^2 + 4x - 5) = \ln(0^+) = -\infty$$ Existe una asíntota vertical en $x = -5$. 2. **En $x = 1$ por la derecha:** $$\lim_{x \to 1^+} \ln(x^2 + 4x - 5) = \ln(0^+) = -\infty$$ Existe una asíntota vertical en $x = 1$. 💡 **Tip:** Para que exista una asíntota vertical en $x=a$, el límite de la función cuando $x$ tiende a $a$ debe ser $\pm\infty$. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{Asíntotas verticales en } x = -5 \text{ y } x = 1}$$

**b) (1 punto) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada $f'(x)$. Usamos la regla de la cadena para el logaritmo: $$f(x) = \ln(u(x)) \implies f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$$ Siendo $u(x) = x^2 + 4x - 5$: $$f'(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x - 5}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$2x + 4 = 0 \implies x = -2$$ Sin embargo, debemos comprobar si $x = -2$ pertenece al dominio de la función. Como el dominio es $(-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$, el punto **$x = -2$ no pertenece al dominio**. Por tanto, no hay extremos relativos dentro del dominio de definición. 💡 **Tip:** No olvides que el signo de $f'(x)$ solo se estudia en los intervalos que componen el dominio de $f(x)$.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos del dominio. Notamos que el denominador $x^2 + 4x - 5$ siempre es positivo en todo el dominio por definición. Por tanto, el signo de $f'(x)$ depende exclusivamente del numerador $2x + 4$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -5) & (-5, 1) & (1, +\infty) \\ \hline 2x+4 & - & \text{No existe } f & + \\ x^2+4x-5 & + & \text{No existe } f & + \\ \hline f'(x) & - & \text{No existe } f & + \\ \hline \text{Monotonía} & \text{Decreciente} & - & \text{Creciente} \end{array}$$ - En $(-\infty, -5)$: Si tomamos $x = -6$, $f'(-6) = \frac{-12+4}{36-24-5} = \frac{-8}{7} \lt 0$. La función es **decreciente**. - En $(1, +\infty)$: Si tomamos $x = 2$, $f'(2) = \frac{4+4}{4+8-5} = \frac{8}{7} \gt 0$. La función es **creciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Decreciente en } (-\infty, -5) \\ \text{Creciente en } (1, +\infty) \end{matrix}}$$