Cálculo de límites al infinito y tipo número e

**a) (1 punto) $\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{\sqrt[3]{3 + 5x - 8x^3}}{1 + 2x} \right]^{25} .$** Para resolver este límite, primero calculamos el límite de la base de la potencia cuando $x$ tiende a $+\infty$. Observamos que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito, generando una indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$. $$L_{base} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{3 + 5x - 8x^3}}{1 + 2x}$$ Para resolverla, dividimos el numerador y el denominador por la máxima potencia de $x$ presente en el denominador, que es $x^1 = x$. Al introducir $x$ dentro de la raíz cúbica, entra como $x^3$: $$L_{base} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt[3]{3 + 5x - 8x^3}}{x}}{\frac{1 + 2x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{3}{x^3} + \frac{5x}{x^3} - \frac{8x^3}{x^3}}}{\frac{1}{x} + \frac{2x}{x}}$$ 💡 **Tip:** Al resolver límites al infinito con polinomios, el comportamiento está dominado por los términos de mayor grado. Recuerda que $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.

Simplificamos las expresiones dentro del límite: $$L_{base} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{3}{x^3} + \frac{5}{x^2} - 8}}{\frac{1}{x} + 2}$$ Como $\lim_{x \to +\infty} \frac{k}{x^n} = 0$ para cualquier $k \in \mathbb{R}$ y $n > 0$, tenemos: $$L_{base} = \frac{\sqrt[3]{0 + 0 - 8}}{0 + 2} = \frac{\sqrt[3]{-8}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Ahora aplicamos el exponente 25 al resultado obtenido: $$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{\sqrt[3]{3 + 5x - 8x^3}}{1 + 2x} \right]^{25} = (-1)^{25}$$ Dado que el exponente es impar, el resultado es $-1$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{-1}$$

**b) (1 punto) $\lim_{x \to 0} ( 1 + 4x^3 )^{2/x^3} .$** Evaluamos el límite directamente sustituyendo $x = 0$: - Base: $\lim_{x \to 0} (1 + 4x^3) = 1 + 4(0)^3 = 1$ - Exponente: $\lim_{x \to 0} \frac{2}{x^3} = \frac{2}{0} = \infty$ Nos encontramos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**, que está relacionada con el número $e$. 💡 **Tip:** Para resolver límites de la forma $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = 1^\infty$, utilizamos la fórmula: $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) \cdot (f(x) - 1)]}$$

Aplicamos la propiedad mencionada anteriormente: $$L = e^{\lim_{x \to 0} \left[ \frac{2}{x^3} \cdot ((1 + 4x^3) - 1) \right]}$$ Simplificamos la expresión del exponente: $$\lim_{x \to 0} \left[ \frac{2}{x^3} \cdot (4x^3) \right] = \lim_{x \to 0} \frac{8x^3}{x^3}$$ Como $x$ tiende a 0 pero no es 0, podemos simplificar $x^3$: $$\lim_{x \to 0} 8 = 8$$ Por tanto, el límite final es: $$L = e^8$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{e^8}$$