Distancia de un punto a una recta y cálculo de simétrico

**a) (1 punto) Hallar la distancia del punto $P$ a la recta $r$.** Primero, extraemos un punto $A_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la ecuación continua de la recta $r$: - El punto de la recta es $A_r(-1, 2, -1)$. - El vector director es $\vec{v}_r = (-2, 1, 3)$. También definimos el vector que va desde el punto $A_r$ de la recta al punto $P(2, 0, -1)$: $$\vec{A_rP} = (2 - (-1), 0 - 2, -1 - (-1)) = (3, -2, 0).$$ 💡 **Recuerda que:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector director es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para hallar la distancia utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial. Calculamos primero $\vec{v}_r \times \vec{A_rP}$ mediante un determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{A_rP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{A_rP} = (0)\vec{i} + (9)\vec{j} + (4)\vec{k} - (3\vec{k} - 6\vec{i} + 0\vec{j})$$ $$\vec{v}_r \times \vec{A_rP} = (0 - (-6))\vec{i} + (9 - 0)\vec{j} + (4 - 3)\vec{k} = (6, 9, 1).$$ Calculamos ahora el módulo de este vector y del vector director: $$|\vec{v}_r \times \vec{A_rP}| = \sqrt{6^2 + 9^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 81 + 1} = \sqrt{118}.$$ $$|\vec{v}_r| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}.$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial nos da un vector perpendicular a ambos, cuyo módulo representa el área del paralelogramo formado por ellos.

La distancia de un punto $P$ a una recta $r$ viene dada por: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{A_rP}|}{|\vec{v}_r|} = \frac{\sqrt{118}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{118}{14}} = \sqrt{\frac{59}{7}} \text{ unidades.}$$ Racionalizando o simplificando si fuera necesario: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{59} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{413}}{7} \approx 2.903.$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{\frac{59}{7}} \text{ u.}}$$

**b) (2 puntos) Hallar las coordenadas del punto $P'$ simétrico de $P$ respecto de la recta $r$.** Para hallar el simétrico sin usar fórmulas directas, seguiremos estos pasos: 1. Hallar un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. 2. Hallar el punto de corte $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este será el punto medio entre $P$ y $P'$. 3. Calcular $P'$ usando la propiedad del punto medio. El vector normal del plano $\pi$ será el vector director de la recta $\vec{v}_r = (-2, 1, 3)$. La ecuación del plano es: $$-2x + y + 3z + D = 0.$$ Como el plano pasa por $P(2, 0, -1)$: $$-2(2) + 1(0) + 3(-1) + D = 0 \implies -4 - 3 + D = 0 \implies D = 7.$$ El plano auxiliar es $\pi \equiv -2x + y + 3z + 7 = 0.$$

Para hallar $M = r \cap \pi$, escribimos la recta $r$ en sus ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = -1 - 2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -1 + 3\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$-2(-1 - 2\lambda) + (2 + \lambda) + 3(-1 + 3\lambda) + 7 = 0$$ $$2 + 4\lambda + 2 + \lambda - 3 + 9\lambda + 7 = 0$$ $$14\lambda + 8 = 0 \implies \lambda = -\frac{8}{14} = -\frac{4}{7}.$$ Sustituimos $\lambda$ en las paramétricas de $r$ para hallar $M$: - $x_M = -1 - 2(-\frac{4}{7}) = -1 + \frac{8}{7} = \frac{1}{7}$ - $y_M = 2 + (-\frac{4}{7}) = \frac{14-4}{7} = \frac{10}{7}$ - $z_M = -1 + 3(-\frac{4}{7}) = -1 - \frac{12}{7} = -\frac{19}{7}$ El punto de corte (proyección ortogonal de $P$ sobre $r$) es $M\left(\frac{1}{7}, \frac{10}{7}, -\frac{19}{7}\right).$$

Como $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'(x', y', z')$: - $x' = 2\left(\frac{1}{7}\right) - 2 = \frac{2}{7} - \frac{14}{7} = -\frac{12}{7}$ - $y' = 2\left(\frac{10}{7}\right) - 0 = \frac{20}{7}$ - $z' = 2\left(-\frac{19}{7}\right) - (-1) = -\frac{38}{7} + \frac{7}{7} = -\frac{31}{7}$ 💡 **Tip:** El punto simétrico siempre se encuentra a la misma distancia de la recta que el punto original, pero en dirección opuesta a través de la proyección ortogonal. ✅ **Resultado (Simétrico):** $$\boxed{P'\left(-\frac{12}{7}, \frac{20}{7}, -\frac{31}{7}\right)}$$