Propiedades de los determinantes

**a) (1 punto) El determinante de la matriz $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 0 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{pmatrix}^4$ .** Sea $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 0 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{pmatrix}$. Observamos que la primera fila es $F_1 = (2, 4, 6) = 2 \cdot (1, 2, 3)$. Por la propiedad de los determinantes, si multiplicamos una fila por un número real, el determinante queda multiplicado por dicho número: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix}$$ Como sabemos que el determinante de referencia vale $3$, sustituimos: $$\det(A) = 2 \cdot 3 = 6$$ 💡 **Tip:** Si $A$ es una matriz de orden $n$, se cumple que $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$, pero si solo multiplicamos **una única fila**, entonces $|A_{new}| = k \cdot |A_{old}|.$

Para hallar el determinante de $A^4$, aplicamos la propiedad que establece que el determinante de una potencia es la potencia del determinante: $$\det(A^n) = (\det A)^n$$ En nuestro caso: $$\det(A^4) = (\det A)^4 = 6^4$$ Calculamos el valor final: $$6^4 = 1296$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{1296}$$

**b) (1 punto) Calcular $\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3\alpha & 3\beta & 3\gamma \end{vmatrix}$ .** Extraemos factores comunes de la primera y tercera fila. De $F_1$ extraemos $10$ y de $F_3$ extraemos $3$: $$\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3\alpha & 3\beta & 3\gamma \end{vmatrix} = 10 \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix} = 30 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Siempre busca factores comunes en filas o columnas para simplificar el determinante y hacerlo parecido al dato original.

Necesitamos relacionar $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix}$ con el dato original. En el enunciado tenemos $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix} = 3$. Si extraemos el factor $3$ de la segunda fila: $$3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix} = 3 \implies \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix} = 1$$ Sustituimos este valor en la expresión obtenida en el paso anterior: $$30 \cdot 1 = 30$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{30}$$

**c) (1 punto) Calcular $\begin{vmatrix} 3\alpha + 2 & 3\beta + 4 & 3\gamma + 6 \\ 2\alpha & 2\beta & 2\gamma \\ \alpha + 6 & \beta & \gamma + 3 \end{vmatrix}$ .** Primero, extraemos el factor $2$ de la segunda fila: $$2 \cdot \begin{vmatrix} 3\alpha + 2 & 3\beta + 4 & 3\gamma + 6 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha + 6 & \beta & \gamma + 3 \end{vmatrix}$$ Ahora, realizamos combinaciones lineales que no varían el valor del determinante para eliminar las variables $\alpha, \beta, \gamma$ de las filas $1$ y $3$. Aplicamos: $F_1 \to F_1 - 3F_2$ $F_3 \to F_3 - F_2$ Obtenemos: $$2 \cdot \begin{vmatrix} (3\alpha+2)-3\alpha & (3\beta+4)-3\beta & (3\gamma+6)-3\gamma \\ \alpha & \beta & \gamma \\ (\alpha+6)-\alpha & \beta-\beta & (\gamma+3)-\gamma \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ 6 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** La propiedad dice que si a una fila se le suma o resta una combinación lineal de las demás, el determinante no varía.

En el determinante resultante, extraemos factor común $2$ de la primera fila: $$2 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ 6 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ 6 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Intercambiamos la fila 2 y la fila 3 ($F_2 \leftrightarrow F_3$). Al intercambiar dos filas, el determinante cambia de signo: $$-4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix}$$ Sustituimos el valor del determinante original que es $3$: $$-4 \cdot (3) = -12$$ ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{-12}$$