Rango e Inversa de una Matriz con Parámetros

**a) (1 punto) Estudiar el rango de $A$ según los valores del parámetro $a$.** El rango de una matriz representa el número de filas o columnas linealmente independientes. Para una matriz cuadrada de orden 3, el rango será 3 si su determinante es distinto de cero. Empezamos calculando el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -a & 0 & a \\ a & a - 1 & 0 \\ 0 & a & a + 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-a)(a-1)(a+2) + 0 + (a)(a)(a)] - [0 + 0 + 0]$$ $$|A| = -a(a^2 + 2a - a - 2) + a^3$$ $$|A| = -a(a^2 + a - 2) + a^3 = -a^3 - a^2 + 2a + a^3 = -a^2 + 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de una matriz $3 \times 3$ se calcula sumando los productos de las diagonales principales y restando los de las secundarias.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que reducen el rango de la matriz: $$-a^2 + 2a = 0 \implies a(-a + 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $a = 0$ 2. $a = 2$ Analizamos ahora los casos posibles: - **Caso 1: $a \neq 0$ y $a \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\text{rg}(A) = 3$$

Analizamos qué ocurre cuando el determinante es nulo: - **Caso 2: $a = 0$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ El determinante es $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ - **Caso 3: $a = 2$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 0, 2 \implies \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } a = 0 \text{ o } a = 2 \implies \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) (1 punto) ¿Para qué valores de $a$ existe la matriz inversa $A^{-1}$? Calcular $A^{-1}$ para $a = 1$.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Basándonos en el estudio del apartado anterior, el determinante $-a^2 + 2a$ es distinto de cero cuando $a \neq 0$ y $a \neq 2$. 💡 **Tip:** Una matriz es regular (invertible) si su rango es máximo, lo que equivale a que su determinante sea no nulo. ✅ **Resultado (Invertibilidad):** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \iff a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}}$$

Para $a = 1$, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ 1. **Calculamos el determinante para $a=1$:** $|A| = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$. 2. **Hallamos la matriz de adjuntos (cofactores), $\text{Adj}(A)$:** $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 3. **Aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^T$:** $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -3 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -3 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -3 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$